Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

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162 8. PROBLÈMES 2. Le système dynamique obtenu par la méthode de Pontryaguine appliquée àcemême problème (en utilisant les notations (w (3) , ẅ,ẇ,w) pour les variables duales) est : d dt ⎛ ⎜ ⎝ z ż ¨z z (3) w (3) ẅ ẇ w ⎞ ⎛ = ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −γ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ z ż ¨z z (3) w (3) ẅ ẇ w ⎞ . ⎟ ⎠ d dt 3. Les modes propres de ce système dynamique sont les racines de s 8 + γ = 0 , qui se calculent aisément à partir des racines huitièmes de −1. 4. Le changement de variables Z = χ, W = Pχ + λ,où P est solution de l’équation de Riccati conduit au système ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ χ χ 1 χ 2 χ 3 λ λ 1 ⎟ λ ⎠ 2 λ 3 ⎛ = ⎜ ⎝ ⎞ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −p 14 −p 24 −p 34 −p 44 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 p 14 0 0 0 0 −1 0 0 p 24 ⎟ 0 0 0 0 0 −1 0 p ⎠ 34 0 0 0 0 0 0 −1 p 44 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ χ χ 1 χ 2 χ 3 λ λ 1 ⎟ λ ⎠ 2 λ 3 . 5. La factorisation du polynôme caractéristique de A obtenue par ce changement de variable est : s 8 +γ = (s 4 + p 44 s 3 + p 34 s 2 + p 24 s + p 14 )(s 4 − p 44 s 3 + p 34 s 2 − p 24 s + p 14 ). FEEDBACK OPTIMAL ET PLACEMENT OPTIMAL DES MODES PROPRES. Tous les modes propres du système optimal doivent être à partie réelle negative. Les racines de s 4 + p 44 s 3 + p 34 s 2 + p 24 s + p 14 = 0 doivent donc avoir une partie réelle négative. 1. Après avoir explicité les racines de s 8 + γ = 0, la factorisation précédente donne s 4 + p 44 s 3 + p 34 s 2 + p 24 s + p 14 = s 4 + (√ 2 + √ √ 2 + 2 − √ ) 2 γ 1/8 s 3 + (2 + √ 2)γ 1/4 s (√ 2 + 2 + √ √ 2 + 2 − √ ) 2 + γ 1/2 . γ 3/8 s
9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 163 2. La commande optimale est donc : (√ v ∗ =− 2 + √ √ 2 + 2 − √ ) 2 − (2 + √ 2)γ (√ 1/4¨z − 2 + √ √ 2 + 2 − √ ) 2 − γ 1/2 z . γ 1/8 z (3) γ 3/8 ż 3. Les modes propres du système optimal partent à l’infini avec γ en restant sur un cercle du plan complexe de rayon γ 1/8 et avec des angles (5π/8, 7π/8, 9π/8, 11π/8).
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