Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

162 8. PROBLÈMES
2. Le système dynamique obtenu par la méthode de Pontryaguine
appliquée àcemême problème (en utilisant les notations
(w (3) , ẅ,ẇ,w) pour les variables duales) est :
d
dt
⎛
⎜
⎝
z
ż
¨z
z (3)
w (3)
ẅ
ẇ
w
⎞
⎛
=
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 −1
−γ 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 0
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ⎝
z
ż
¨z
z (3)
w (3)
ẅ
ẇ
w
⎞
.
⎟
⎠
d
dt
3. Les modes propres de ce système dynamique sont les racines de
s 8 + γ = 0 ,
qui se calculent aisément à partir des racines huitièmes de −1.
4. Le changement de variables Z = χ, W = Pχ + λ,où P est solution
de l’équation de Riccati conduit au système
⎛
⎜
⎝
⎞
χ
χ 1
χ 2
χ 3
λ
λ 1 ⎟
λ
⎠
2
λ 3
⎛
=
⎜
⎝
⎞
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
−p 14 −p 24 −p 34 −p 44 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0 0 p 14
0 0 0 0 −1 0 0 p 24 ⎟
0 0 0 0 0 −1 0 p
⎠
34
0 0 0 0 0 0 −1 p 44
⎛
⎜
⎝
⎞
χ
χ 1
χ 2
χ 3
λ
λ 1 ⎟
λ
⎠
2
λ 3
.
5. La factorisation du polynôme caractéristique de A obtenue par ce
changement de variable est :
s 8 +γ = (s 4 + p 44 s 3 + p 34 s 2 + p 24 s + p 14 )(s 4 − p 44 s 3 + p 34 s 2 − p 24 s + p 14 ).
FEEDBACK OPTIMAL ET PLACEMENT OPTIMAL DES MODES PROPRES.
Tous les modes propres du système optimal doivent être à partie réelle negative.
Les racines de s 4 + p 44 s 3 + p 34 s 2 + p 24 s + p 14 = 0 doivent donc
avoir une partie réelle négative.
1. Après avoir explicité les racines de s 8 + γ = 0, la factorisation précédente
donne
s 4 + p 44 s 3 + p 34 s 2 + p 24 s + p 14 = s 4 +
(√
2 + √ √
2 + 2 − √ )
2 γ 1/8 s 3
+ (2 + √ 2)γ 1/4 s
(√
2
+ 2 + √ √
2 + 2 − √ )
2
+ γ 1/2 .
γ 3/8 s