TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI - Università del Sannio ...

Mariano Gallo Appunti di Tecnica ed Economia dei Trasporti
Modelli matematici per la stima della domanda (4/11)
Di seguito si indica con:
Ui j l’utilità percepita che l’utente “i” associa all’alternativa j
Vj la media (o il valore atteso) delle utilità che gli utenti
associano all’alternativa j, detta utilità sistematica
εi j il residuo aleatorio, che rappresenta lo scostamento
dell’utilità percepita rispetto al valore medio
U i j = V j + ε i j
L’utilità connessa ad ogni alternativa dipende dagli “attributi”
dell’alternativa stessa; di solito si assume che la utilità
sistematica V j sia una funzione lineare degli attributi X k j:
V j = ∑ k β k X k j
In base alle ipotesi fatte, la probabilità che l’utente i scelga
l’alternativa j, tra tutte quelle appartenenti al suo insieme di
scelta I i, è pari alla probabilità che l’utilità percepita
dell’alternativa j sia la maggiore tra le utilità percepite associate
alle altre alternative diverse da j, cioè:
ovvero:
i i [ Uj
> Uk
] ∀k
≠ j j,
k Ii
i
p ( j)
= Pr ob
∈
i i
[ Vj
− Vk
> εk
− ε j]
∀k
≠ j j,
k Ii
i
p ( j)
= Pr ob
∈
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Mariano Gallo Appunti di Tecnica ed Economia dei Trasporti
Modelli matematici per la stima della domanda (5/11)
Dalle relazioni precedenti, si evince che la probabilità di scelta di
una alternativa è una funzione dei valori delle utilità sistematiche
di tutte le alternative concorrenti.
L’espressione di tale probabilità dipende dalla legge di
distribuzione dei residui aleatori: al variare delle ipotesi che si
fanno sulla distribuzione congiunta dei residui aleatori si possono
ottenere diversi modelli di utilità casuale.
Uno dei modelli più diffusi è il modello Logit multinomiale, che si
basa sull’ipotesi che i residui aleatori siano distribuiti secondo
una variabile aleatoria di Gumbel di parametro θ (da calibrare).
Tale modello consente di calcolare in forma chiusa le probabilità di
scelta di un’alternativa come:
i
p ( j)
=
exp( V / θ)
/ θ)
j
∑ k= 1...
N exp( Vk
Il modello Logit risulta essere particolarmente conveniente per la
semplicità della sua trattazione analitica; esso è il più semplice di
un’ampia classe di modelli di utilità casuale, cui si rimanda a testi
specifici.
La forma funzionale del modello Logit è molto adoperata per
definire i modelli di distribuzione e di scelta modale.
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