mjerna nesigurnost - Državni zavod za mjeriteljstvo

JCGM 100:2008
G.1.4 Ako su poznate razdiobe vjerojatnosti ulaznih veli~ina X 1 , X 2 , ..., X N o kojima ovisi mjerena veli~ina Y
[njihova o~ekivanja i varijancije, a ako te razdiobe nisu normalne i njihovi momenti vi{eg reda (vidi podto~ke
C.2.13 i C.2.22)] i ako je Y linearna funkcija tih ulaznih veli~ina Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c N X N , razdioba vjerojatnosti
veli~ine Y' tada se mo`e dobiti konvolucijom tih pojedina~nih razdioba vjerojatnosti [10]. Vrijednost faktora pokrivanja
k p koji daje intervale koji odgovaraju specificiranim razinama povjerenja p, mogu se tada izra~unati iz kona~ne
konvolucijom dobivene razdiobe.
G.1.5 Ako je funkcijski odnos izme|u Y i njezinih ulaznih veli~ina nelinearan, a razvoj te funkcije u Taylorov
red uz zadr`avanje samo prvih ~lanova razvoja nije prihvatljiva aproksimacija (vidi podto~ke 5.1.2 i 5.1.5), razdioba
vjerojatnosti izlazne veli~ine Y ne mo`e se dobiti konvolucijom razdioba ulaznih veli~ina. U takvim slu~ajevima
zahtijevaju se druge analiti~ke ili numeri~ke metode.
G.1.6 Budu}i da su parametri koji opisuju razdiobe vjerojatnosti ulaznih veli~ina obi~no procjene i budu}i da je
nerealno o~ekivati da razina povjerenja pridru`ena danom intervalu mo`e biti poznata s velikom to~no{}u te zbog
slo`enosti postupka tvorbe konvolucije razdioba vjerojatnosti, u praksi se, kad se trebaju izra~unati intervali koji
imaju specificirane razine povjerenja, takve konvolucije rijetko ili uop}e ne primjenjuju. Umjesto toga upotrebljavaju
se aproksimacije u kojima se rabi sredi{nji grani~ni teorem.
G.2 Sredi{nji grani~ni teorem
N
G.2.1 Ako je Y = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c N X N = ∑ i = 1
c i X i i ako se sve veli~ine X i opisuju normalnim razdiobama, i kona~na
konvolucijom dobivena razdioba veli~ine Y bit }e tako|er normalna. Me|utim, ~ak i ako razdiobe veli~ina
X i nisu normalne, razdioba veli~ine Y mo`e se, zbog sredi{njega grani~nog teorema, ~esto aproksimirati normalnom
razdiobom. Taj teorem tvrdi da }e razdioba veli~ine Y biti pribli`no normalna s o~ekivanjem E(Y) =
N
∑i=
1
c i E(X i ) i varijancijom s 2 N
(Y)= ∑i=
1
c 2 i s 2 (X i ) gdje je E(X i ), o~ekivanje veli~ine X i ,as 2 (X i ) varijancija veli~ine
X i , ako su veli~ine X i neovisne i ako je varijancija s 2 (Y) mnogo ve}a od svake pojedina~ne sastavnice c 2 i s 2 (X i )nenormalno
raspodijeljene veli~ine X i .
G.2.2 Sredi{nji je grani~ni teorem va`an jer pokazuje veoma va`nu ulogu koju u odre|ivanju oblika kona~ne
konvolucijom dobivene razdiobe veli~ine Y igraju varijancije razdioba vjerojatnosti ulaznih veli~ina u usporedbi s
ulogom koju igraju vi{i momenti tih razdioba. Nadalje, on povla~i za sobom da konvolucijom dobivena razdioba
te`i prema normalnoj razdiobi kad broj ulaznih veli~ina koje doprinose vrijednosti varijancije s 2 (Y) raste, da }e ta
konvergencija biti to br`a {to su vrijednosti c 2 i s 2 (X i ) bli`e jedna drugoj ({to je u praksi istovjetno da svaka procjena
ulazne veli~ine x i s razmjerno istom nesigurno{}u doprinosi nesigurnosti procjene y mjerene veli~ine Y)te{to
su razdiobe veli~ina X i bli`e normalnoj razdiobi tra`i se manji broj veli~ina X i da bi se za veli~inu Y dobila normalna
razdioba.
PRIMJER: Pravokutna je razdioba (vidi podto~ke 4.3.7 i 4.4.5) krajnji primjer nenormalne razdiobe, ali je konvolucija ve}
triju takvih razdioba iste {irine pribli`no normalna. Ako je polu{irina svake od tih triju pravokutnih razdioba jednaka a, tako
da je varijancija svake od njih jednaka a 2 /3, varijancija konvolucijom dobivene razdiobe jednaka je s 2 = a 2 . Intervali konvolucijom
dobivene razdiobe s razinom povjerenja 95 i 99 posto odre|uju se redom izrazima 1,937s i 2,379s, dok se odgovaraju}i
intervali za normalnu razdiobu s istim standardnim odstupanjem s odre|uju s pomo}u izraza 1,960s i 2,576s (vidi tablicu
G.1) [10].
NAPOMENE:
1. Za svaki interval s razinom povjerenja p ve}om od oko 91,7 posto, vrijednost faktora pokrivanja k p za normalnu razdiobu
ve}a je od odgovaraju}e vrijednosti faktora pokrivanja za razdiobu koja se dobije kao rezultat konvolucije pravokutnih razdioba
bilo kojeg broja i veli~ine.
2. Iz sredi{njega grani~noga teorema izlazi da se razdioba vjerojatnosti aritmeti~ke sredine q dobivene iz n opa`anja q k
slu~ajne varijable q s o~ekivanjem m q i kona~nim standardnim odstupanjem s/ n kad n →∞pribli`uje normalnoj razdiobi sa
srednjom vrijedno{}u m q i standardnim odstupanjem s/ n, bez obzira kakva bila razdioba vjerojatnosti veli~ine q.
G.2.3 Prakti~na je posljedica sredi{njega grani~noga teorema, kad su njegovi zahtjevi pribli`no ispunjeni, posebno
ako u sastavljenoj standardnoj nesigurnosti u c (y) ne prevladava koja sastavnica standardne nesigurnosti do-
82