Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

2 Problemanalyse und Lösungsentwicklung
2.1 Multikriterielle Optimierung
Die Optimierung der Bewirtschaftung landwirtschaftlich genutzter hydrologischer Einzugsgebiete gehört
– wie viele andere realweltliche Probleme – zur Gruppe der multikriteriellen Optimierungsprobleme.
„Ein multikriterielles Optimierungsproblem kann definiert werden als Suche nach einem
Vektor von Entscheidungsvariablen, welcher einer Reihe von Constraints genügt und der
eine Vektorfunktion optimiert, deren Elemente Zielfunktionen repräsentieren.“ (Osyczka
1985)
Die Entscheidungsvariablen sind dabei die Parameter, denen im Laufe der Optimierung Werte zugewiesen
werden, welche dann im Erfolgsfall eine Lösung für das Optimierungsproblem repräsentieren.
Die Constraints sind allgemeine Beschränkungen, die zur Darstellung von Abhängigkeiten zwischen
verschiedenen Entscheidungsvariablen sowie zwischen Entscheidungsvariablen und Konstanten dienen.
Die Zielfunktionen beschreiben in Abhängigkeit von den Entscheidungsvariablen eine Reihe von
Zielen, die optimiert (maximiert oder minimiert) werden sollen. Da diese Zielfunktionen in vielen Fällen
gegenläufig sind, ist mit multikriterieller Optimierung die Suche nach einer Lösung gemeint, die
für alle Zielfunktionen akzeptable Werte liefert.
Die nun folgenden Definitionen und die Terminologien entsprechen weit verbreiteten Standardformulierungen
in der Literatur über multikriterielle Optimierungsprobleme (Osyczka 1985, Zitzler 1999,
Knowles 2002).
Definition 2.1.1 (Multikriterielles Optimierungsproblem)
Ein allgemeines multikriterielles Optimierungsproblem ist ein Tupel MOP = (E, C, Z) mit
1. E = {v 1 , . . . , v n } ist eine Menge von Entscheidungsvariablen. Wird jeder der Entscheidungsvariablen
v i ein Wert x i zugewiesen, so heißt x = (x 1 , . . . , x n ) Entscheidungsvektor.
2. C = {c 1 (x), . . . , c m (x)} ist eine Menge von Constraints.
3. Z = {f 1 (x), . . . , f k (x)} ist eine Menge von Zielfunktionen.
Eine Lösung dieses Problems ist ein Entscheidungsvektor x ∗ = (x ∗ 1 , . . . , x∗ n), der
1. alle Constraints erfüllt:
c(x ∗ ) = ( c 1 (x ∗ ), . . . , c m (x ∗ ) ) ≤ 0 (2.1.1)