Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

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66 Problemanalyse und Lösungsentwicklung lengleichungen gelöst werden (Stöcker 1993): m∑ y i x 0 i = a 0 i=1 m∑ y i x 1 i = a 0 i=1 . m∑ y i x n i = a 0 i=1 m ∑ i=1 ∑ m i=1 m ∑ i=1 x 0 i + a 1 x 1 i + a 1 x n i + a 1 m ∑ i=1 ∑ m i=1 x 1 i + · · · + a n x 2 i + · · · + a n ∑ m x n+1 i=1 ∑ m x n i i=1 ∑ m x n+1 i i=1 i + · · · + a n m ∑ i=1 x n+n i . (2.8.9) Durch Lösung dieses Gleichungssystems können die Parameter a 0 , . . . , a n berechnet werden. Die Anzahl der Stützstellen m muss dabei stets größer sein als der Grad n des angenäherten Polynoms. Zur Darstellung der N-Austragsfunktion scheinen Polynome zweiter Ordnung besonders gut geeignet zu sein. Abbildung 2.11 (rechts) zeigt solch ein Polynom, welches an fünf Stützstellen angenähert wurde. 2.8.2.3 Gegenüberstellung Sowohl Polynome als auch Polylines weisen grundsätzlich alle Merkmale auf, die für den Einsatz als Aktivierungsfunktion in einem HydroNet vorausgesetzt werden. Dennoch lassen sich verschiedene für den Einsatz im HydroNet relevante Unterschiede feststellen: 1. Zunächst muss betrachtet werden, wie sich beide Funktionstypen zur Abbildung der N-Austragsfunktion eignen. Polylines sind hier in der Lage, vorgegebene Stützstellen dieser Funktion fehlerfrei zu repräsentieren. Die lineare Interpolation des Austrags für unbekannte Einträge zwischen bekannten Stützstellen erscheint hier sinnvoll, da genauere Informationen über den Verlauf der N-Austragsfunktion nicht existieren. Um dagegen eine fehlerfreie Wiedergabe gegebener Stützstellen auch mit Polynomen sicherzustellen, müssten deren Grade ebenso groß gewählt werden wie die Anzahl der Stützstellen. Solche Polynome sind jedoch im Allgemeinen nicht in der Lage, die Austräge für unbekannte Einträge außerhalb der Stützstellen erwartungsgetreu wiederzugeben. Polynome mit festem (z. B. zweiten) Grad können im Gegenzug auch bekannte Stützstellen nur annähern. 2. Ein weitereres Unterscheidungsmerkmal ist die Eignung beider Funktionstypen für den Einsatz in Gradientenabstiegsverfahren wie dem BP ∗ -Algorithmus. Die dafür benötigte Ableitung der Aktivierungsfunktionen kann bei Verwendung von Polylines nur für das offene Intervall zwischen zwei benachbarten Stützstellen berechnet werden. Die an den Stützstellen selbst auftretenden Unstetigkeiten und die daraus resultierenden Probleme bei der Berechnung der ersten Ableitung können zwar durch Vereinfachungen gelöst werden (Ableitung an der Stützstelle entspricht der Ableitung des Intervalls links bzw. rechts der Stützstelle), dennoch stellt sich die
2.8 Praktische Überlegungen zum HydroNet 67 Frage, welche Auswirkungen sich aus dem resultierenden unstetigen Verlauf der ersten Ableitung von Polylines für das BP ∗ -Verfahren ergeben. Bei Verwendung von Polynomen treten die genannten Probleme wegen der Stetigkeit über den gesamten Definitionsbereich nicht auf. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass eine möglichst detailgetreue Abbildung der N-Austragsfunktionen gegenüber möglichen Problemen während des BP ∗ -Verfahrens im Vordergrund steht. Daher liegt die Vermutung nahe, dass Polylines besser zur Repräsentation dieser Beziehung geeignet sind als Polynome. Wie sich der Nachteil der Unstetigkeit an den Stützstellen auf das BP ∗ -Verfahren auswirkt, kann a priori nur schwer abgeschätzt werden. Eine abschließende Bewertung der Eignung beider Funktionstypen für den vorliegenden Anwendungsfall erfolgt daher erst im nachfolgenden Kapitel (Abschnitte 3.4.3 und 3.6.1). Hier werden sowohl die Qualtität der Abbildung der N-Austragsfunktion auf Basis beider Funktionstypen als auch die zugehörigen Ergebnisse aus dem BP ∗ -Verfahren gegenübergestellt.
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Vorwort Die vorliegende Arbeit ents
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IV Inhaltsverzeichnis
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VIII Tabellenverzeichnis
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