Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

PSfrag replacements
2.1 Multikriterielle Optimierung 23
PSfrag replacements
a
f 1
f 2
nicht vergleichbar
e
dominiert
e
wird dominiert
b
c
wird dominiert
d dominiert
nicht vergleichbar
nicht vergleichbar
nicht vergleichbar
f 1
f 2
Y f
Pareto-Front
a
b
d
c
Abbildung 2.1: Zielraum eines MOP mit möglichen Beziehungen zwischen Entscheidungsvektoren
(links) und Darstellung der Pareto-Front für das gleiche Problem (rechts) (Zitzler
1999)
Bei einkriteriellen Optimierungsproblemen sind die Elemente des Suchraumes bezüglich der Zielfunktion
total geordnet. Für den multikriteriellen Fall ändert sich die Situation. Die Ordnungsrelation
zwischen zwei Lösungskandidaten bezüglich einer der Zielfunktionen muss nicht zwangsläufig auch
für Beziehungen bezüglich anderer Zielfunktionen gelten. Die Elemente in X f sind in diesem Fall
nicht mehr total, sondern nur noch partiell geordnet (Pareto 1896). Dieser Sachverhalt ist im linken
Teil von Abbildung 2.1 illustriert. Dargestellt ist der Zielraum eines MOP mit den Zielen f 1 und f 2
sowie die Bilder einer Reihe von Lösungskandidaten (Entscheidungsvektoren) im Zielraum. Hier ist
Lösungskandidat b zwar größer als Kandidat d bezüglich f 1 , aber kleiner als d bezüglich f 2 . Um diesen
Sachverhalt zu formalisieren, wird zunächst eine partielle Ordnung auf den Zielvektoren definiert.
Definition 2.1.3
Für zwei beliebige Zielvektoren u und v gelten folgende Ordnungsrelationen:
u = v ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , k} : u i = v i
u ≥ v ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , k} : u i ≥ v i
u > v ⇔ u ≥ v ∧ u ≠ v
Die Relationen ≤ und < sind analog definiert.
Diese Relationen können nun auch auf den Suchraum übertragen werden.