Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

2.7 Ein neuronaler Lösungsansatz für das Stickstoffkonfigurationsproblem 59
einerseits aus den positiven Kantengewichten (2.7.15), andererseits aus den speziellen Eigenschaften
der eingesetzten Aktivierungsfunktionen (Abschnitt 2.6.1.3). Daraus folgt, dass die
Aktivierungen aller Neuronen stets positiv sind:
∀u ∈ U : a u ≥ 0. (2.7.16)
3. Die Aktivierungsfunktionen f u aller Neuronen u ∈ U sind monoton steigend:
∀u ∈ U : f ′ u(net u ) ≥ 0. (2.7.17)
Für die Aktivierungsfunktion des Ein- und Ausgabeneurons ist diese Aussage trivial. Um diese
Eigenschaft aber für die Aktivierungsfunktionen der inneren Neuronen zu begründen, muss
die durch sie dargestellte N-Austragsfunktion genauer betrachtet werden. Hier wird idealisiert
angenommen, dass eine Erhöhung des N-Eintrags in eine räumliche Einheit immer zu einem
gleichbleibenden oder erhöhten N-Austrag führt. Diese Annahme ist vor allem dann sinnvoll,
wenn der N-Austrag – wie bei der Ableitung der Aktivierungsfunktionen – einzig als Funktion
des N-Eintrags dargestellt wird und alle anderen Einflussfaktoren als konstant angesehen
werden (Abschnitt 2.6.1.3).
Um weitere Aussagen über das BP ∗ -Verfahren machen zu können, ist es sinnvoll, die Menge der zu
berücksichtigenden Vektoren von Düngekantengewichten eines HydroNet in folgende Teilmengen zu
untergliedern:
W N ≤ = def {w N : a uout
W N ≥ = def {w N : a uout
≤ z max
E }, (2.7.18)
≥ z max
E }. (2.7.19)
Schnell wird klar, dass für die Lösung von NCP A nur die Menge W≥ N
des Verfahrens wegen (2.7.2) und (2.6.4)
von Interesse ist, da zu Beginn
a uout
> z max
E
gilt und das Verfahren für
a uout
≤ z max
E
wegen der ersten Haltebedingung (2.7.9) anhält.
Auf dieser Grundlage lässt sich nun der folgende Satz formulieren. (Anmerkung: im Weiteren gilt
folgende Abkürzung: wv
N := W (u in , v)).