Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

2.7 Ein neuronaler Lösungsansatz für das Stickstoffkonfigurationsproblem 57
1. Der vorgegebene Zielwert für den Gesamteintrag in den Vorfluter entspricht nicht einem bestehenden
Höchstwert (zE
max ), der sich aus Gesichtspunkten des Einzugsgebietsmanagements
ergibt, sondern dem kleinsten möglichen Wert (0) für die Ausgabe des HydroNet. Aus diesem
Grund wird auch nicht, wie in der ersten Haltebedingung des BP ∗ -Verfahrens (S. 54), gefordert,
dass die Netzwerkausgabe a uout den Zielwert unterschreitet. Der Austrag muss stattdessen
lediglich eine kleine Konstante ɛ unterschreiten.
2. Durch eine zusätzliche Haltebedingung wird sichergestellt, dass die Kosten, die sich aus dem
aktuellen Vektor von Düngekantengewichten w N ergeben, nach jedem Schritt der Gewichtsanpassung
überprüft werden. Bei Überschreitung vorgegebener maximaler Kosten zK
max wird die
letzte Gewichtsanpassung rückgängig gemacht und das Verfahren gestoppt.
Für ein HydroNet N , ein Budget zK
max , einen Vektor optimaler N-Einträge nopt sowie kleine Konstanten
ɛ und ω kann folgender Algorithmus BP ∗ B eine Lösung für die Problemstellung NCP B ermitteln.
BP ∗ B
(N , z
max
K , nopt , ɛ, ω)
1: Initialisiere die Düngekantengewichte: w N := n opt
2: t = 0
3: Berechne a (t)
u out
4: repeat
5: t = t + 1
6: w N temp = w N
7: Berechne einen neuen Gewichtsvektor w N gemäß (2.7.4)
8: if z K (w N ) ≥ zK
max then
9: return wtemp
N
10: end if
11: Berechne a (t)
u out
12: until ( a (t)
u out
≤ ɛ ) or ( |a u (t−1)
out
− a (t)
u out
| < ω )
13: return w N
Analog der Lösung für NCP A entspricht der resultierende Vektor der Düngekantengewichte w N dann
dem gesuchten Entscheidungsvektor n für NCP B .
Nun soll betrachtet werden, welche Eigenschaften die Gewichtsanpassung gemäß dem BP ∗ -Verfahren
aufweist.
2.7.2 Eigenschaften des Lernverfahrens
Für ein Backpropagation-Netz mit einer festen Lernaufgabe ˆL kann gezeigt werden, dass das BP-
Verfahren die folgende Fehlerfunktion mittels eines approximierten Gradientenabstiegs lokal minimiert
(Rumelhart u. a. 1986):
E(w) = ∑ E (p) = 1 ∑ ∑
(t (p)
v
2
p∈ ˆL
v∈U n
p∈ ˆL
− a (p)
v ) 2 . (2.7.12)