Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

22 Problemanalyse und Lösungsentwicklung
2. und die Vektorfunktion
optimiert.
f(x ∗ ) = ( f 1 (x ∗ ), . . . , f k (x ∗ ) ) (2.1.2)
Unter der Optimierung einer Vektorfunktion mit den Zielfunktionen f 1 , . . . , f k ist dabei zu verstehen,
dass
1. alle Zielfunktionen maximiert werden oder
2. alle Zielfunktionen minimiert werden oder
3. einige der Zielfunktionen maximiert und andere minimiert werden.
Aus Gründen der Vereinfachung werden häufig alle Zielfunktionen in eine Maximierungs- oder Minimierungsform
überführt.
Weiterhin gilt:
(
c1 (x ∗ ), . . . , c m (x ∗ ) ) ≤ 0 ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , m} : c i (x ∗ ) ≤ 0.
Durch die Menge der Constraints werden die Werte, die die Entscheidungsvariablen annehmen können,
eingeschränkt. Die Suche nach einer Lösung kann damit auf diejenigen Entscheidungsvektoren
aus X eingegrenzt werden, die keine Constraints verletzen.
Definition 2.1.2 (Entscheidungsraum, Zielraum, Suchraum)
Die Menge aller Entscheidungsvektoren
X = {x : x = (x 1 , . . . , x n )} (2.1.3)
eines MOP heißt Entscheidungsraum, die Menge der dazugehörigen Funktionswerte
Y = {f(x) : x ∈ X} (2.1.4)
wird als Zielraum bezeichnet. Die Elemente y ∈ Y des Zielraums heißen Zielvektoren.
Der Suchraum (feasible set) X f eines MOP ist definiert als die Menge der Entscheidungsvektoren x,
die keine Constraints verletzen:
X f = {x ∈ X : c(x) ≤ 0}. (2.1.5)
Analog dazu ist das Bild des Suchraumes definiert:
Y f = {f(x) : x ∈ X f }. (2.1.6)