Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

24 Problemanalyse und Lösungsentwicklung
Definition 2.1.4 (Pareto-Dominanz)
Für zwei beliebige Entscheidungvektoren a und b gelten folgende Ordnungsrelationen:
a ≻ b (a dominiert b) ⇔ f(a) > f(b)
a ≽ b (a überdeckt b) ⇔ f(a) ≥ f(b)
a ∼ b (a ist nicht vergleichbar mit b) ⇔ f(a) ≱ f(b) ∧ f(b) ≱ f(a)
Die Relationen ≼ und ≺ sind analog definiert.
Zur Veranschaulichung des Begriffes der Pareto-Dominanz ist im linken Teil der Abbildung 2.1 der
Zielraum bezüglich eines Lösungskandidaten B in drei Teilräume untergliedert. Hervorgehoben ist die
Menge aller Entscheidungsvektoren, die von B dominiert werden (dominiert), durch die B dominiert
wird (wird dominiert) und die nicht vergleichbar sind mit B (nicht vergleichbar). Des Weiteren wird
C von B überdeckt.
Auf der Grundlage der Pareto-Dominanz kann nun der Begriff der Optimalität für multikriterielle
Optimierungsprobleme eingeführt werden.
Definition 2.1.5 (Pareto-Optimalität, Effizienz)
Ein Entscheidungsvektor x ∈ X f heißt nicht-dominiert bezüglich einer Menge A ⊆ X f genau dann,
wenn gilt:
∄a ∈ A : a ≻ x. (2.1.7)
x ∈ X f heißt pareto-optimal, wenn x nicht-dominiert ist bezüglich X f . Ist x pareto-optimal, dann
wird der dazugehörige Zielvektor f(x) als effizient bezeichnet.
Definition 2.1.6 (Pareto-Menge, Pareto-Front)
Die Menge X ∗ aller pareto-optimalen Entscheidungsvektoren wird als Pareto-Menge bezeichnet:
X ∗ = {x : x ist pareto-optimal}. (2.1.8)
Die dazugehörige Menge Y ∗ aller effizienten Zielvektoren wird als Pareto-Front bezeichnet:
Y ∗ = {f(x) : f(x) ist effizient}. (2.1.9)
2.2 Problembeschreibung
2.2.1 Allgemeine Definitionen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Verfahrens, welches ein optimiertes Düngeszenario
für landwirtschaftliche Nutzflächen eines hydrologisches Einzugsgebietes ermitteln kann. Die
Grundlage für die Ausweisung solcher Szenarien ist allgmein eine Menge S von räumlichen Einheiten