Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

64 Problemanalyse und Lösungsentwicklung
Der Definitionsbereich der Funktion r s ist gegeben durch
D rs = [x 1 , x m ] ⊂ IR + (x 1 > 0).
Die Stützstellen sollten von vornherein so gewählt werden, dass der angestrebte Definitionsbereich
vollständig abgedeckt wird. Unter Umständen ist dies aber nicht möglich, z. B. weil das verwendete
Modell nur N-Einträge innerhalb festgelegter Ober- und Untergrenzen zulässt oder weil im Vorfeld
nicht bekannt ist, wie groß die zu erwartenden N-Gesamteinträge für ein einzelnes Neuron sein werden.
In solchen Fällen ist es sinnvoll, für Eingaben außerhalb des durch Stützstellen abgedeckten
Intervalls Standardannahmen für den N-Austrag zu treffen, z. B.
⎧
f 0 (x) falls x ∈ [0, x 1 ),
f ⎪⎨ 1 (x) falls x ∈ [x 1 , x 2 ),
r s (x) = .
(2.8.4)
f m−1 (x) falls x ∈ [x m−1 , x m ]
⎪⎩
f m (x) falls x > x m .
mit
f 0 (x) = y 1
f m (x) = x + y m − x m .
(2.8.5)
Für x ∈ [0, x 1 ] wird also angenommen, dass der N-Austrag konstant bleibt, weil z. B. ein Bodenspeicher
noch nicht gefüllt ist und zusätzlicher Stickstoff in der räumlichen Einheit zwischengepuffert
werden kann. Für x > x m ist die N-Abbaukapazität der Einheit erschöpft, zusätzlich eingetragener
Stickstoff wird in vollem Umfang wieder ausgetragen.
Für die Darstellung der N-Austragsfunktion außerhalb des durch das Modell beschriebenen Intervalls
sind weitere Annahmen denkbar. Auf Alternativen zu der hier vorgestellten Variante wird in Kapitel
3 eingegangen.
2.8.2.2 Polynome
Eine alternative Repräsentation der N-Austragsfunktion ist durch die Darstellung als Polynom möglich,
welches mit Hilfe von Regressionsverfahren ermittelt werden kann. Solche Verfahren basieren
häufig auf der Minimierung der Summe der Fehlerquadrate. Mit diesem Ansatz können beispielsweise
Polynome n-ter Ordnung oder Exponentialfunktionen an gegebene Stützstellen angenähert werden.
Beim Einsatz von Polynomen ist zu berücksichtigen, dass der Fehler der resultierenden Funktion für
Eingaben außerhalb des durch das Modell beschriebenen Intervalls bei der Wahl eines ungeeigneten
Funktionstyps sehr groß werden kann. In Abschnitt 2.6.1.3 wurde bereits auf einige grundlegende
Eigenschaften der Beziehung zwischen N-Eintrag und N-Austrag eingegangen. Bei der Auswahl des
Funktionstyps muss daher insbesondere darauf geachtet werden, dass die Funktion die Tendenz der