Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

2.6 Vom Einzugsgebiet zum Backpropagation-Netz 51
a u zu:
⎧
⎪⎨
A u (ex(u)) = ex(u) für u = u in
a u = A u (net u ) = net u für u = u out
⎪⎩
A u (net u ) = f u (net u ) für u ∈ U S ,
wobei f u eine differenzierbare Funktion ist.
4. O ordnet jedem Neuron u ∈ U als Ausgabefunktion O u : IR → IR zur Berechnung der Ausgabe
o u die Identitätsfunktion zu:
o u = O u (a u ) = a u .
5. NET ordnet jedem Neuron u ∈ U S ∪ U out eine Funktion
NET u : (IR × IR) U S∪U in
→ IR
zu, die die Netzeingabe net u wie folgt berechnet:
net u =
∑
a v W (v, u).
v∈U S ∪U in
6. ex : U in → IR ordnet der Eingabeeinheit u in die externe Eingabe 1 zu:
ex(u in ) = 1.
2.6.2 Dynamische Eigenschaften
Wie in der vorangegangenen Definition beschrieben, liegen die inneren Neuronen U S des HydroNet
zunächst in ungeschichteter Form vor. Dies stellt jedoch für die praktische Umsetzung der Propagierung
von Signalen ein Problem dar, weil vor der Berechnung der Netzeingabe eines Neurons sichergestellt
werden muss, dass die Signale an allen eingehenden Kanten bereits aktualisiert wurden.
Dies kann durch eine geeignete Schichtung der innereren Neuronen geschehen, so dass gilt:
U S = U 1 ∪ · · · ∪ U n . (2.6.2)
Die Zuordnung der Neuronen zu den Schichten U 1 , . . . , U n muss dabei so erfolgen, dass für je zwei
Neuronen u, v ∈ U S gilt:
W (u, v) ≠ 0 ⇒ ∃i, j ∈ {1, . . . , n} : u ∈ U i ∧ v ∈ U j ∧ i > j. (2.6.3)
Folgende rekursive Funktion setLayer stellt eine solche schichtweise Anordnung her, dabei bezeichnet
layer(u) diejenige Schicht, der ein Neuron u zugeordnet wird: