Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

40 Problemanalyse und Lösungsentwicklung
4. O ordnet jedem Neuron u ∈ U eine Ausgabefunktion O u : IR → IR zur Berechnung der
Ausgabe o u zu, so dass gilt:
o u = O u (a u ) = a u .
5. NET ordnet jedem Neuron u ∈ U i (2 ≤ i ≤ n) eine Funktion
NET u : (IR × IR) U i−1
→ IR
zu, die die Netzeingabe net u wie folgt berechnet:
net u =
∑
a v W (v, u).
v∈U i−1
6. ex : U 1 → IR ordnet jeder Eingabeeinheit u ∈ U 1 eine externe Eingabe zu.
2.5.2 Dynamische Eigenschaften
Die Ein- und Ausgabe von Daten erfolgt bei Backpropagation-Netzen entsprechend den Ausführungen
in Abschnitt 2.4.2. Da hier nur Kanten zwischen Neuronen benachbarter Schichten existieren,
reicht es aus, die Aktivierungen schichtweise zu aktualisieren. Zunächst werden dazu die Aktivierungen
der Eingabeneuronen mit externen Eingaben initialisiert. Anschließend werden die Aktivierungen
der Neuronen der zweiten Schicht berechnet und so fort, bis die Berechnung für alle Neuronen abgeschlossen
ist. Auf diese Weise wird sichergestellt, dass vor der Berechnung der Aktivierung eines
Neurons sämtliche Eingangssignale bereits aktualisiert wurden. Die Neuronen innerhalb einer Schicht
können dabei in beliebiger Reihenfolge, insbesondere parallel, abgearbeitet werden.
2.5.3 Das Backpropagation-Lernverfahren
Das Backpropagation-Verfahren (BP-Verfahren, (Rumelhart u. a. 1986)) ist ein Lernverfahren, mit
dem überwachte, schwere Lernaufgaben gelöst werden können, die Netzwerkstruktur wird durch das
Verfahren nicht verändert (vgl. Abbildung 2.6). Eingabe für dieses Lernverfahren ist eine überwachte
Lernaufgabe, die aus diesem Grund zunächst etwas genauer definiert wird.
Definition 2.5.2 (überwachte Lernaufgabe)
Gegeben sei ein Backpropagation-Netz N = (U, W, A, O, NET , ex) mit den Eingabeneuronen U 1 =
{u 1 , . . . , u k } und den Ausgabeneuronen U n = {v 1 , . . . , v l }. Es seien weiterhin i = (i 1 , . . . , i k ) ∈ IR k
ein Eingabevektor und t = (t 1 , . . . , t l ) ∈ IR l ein Ausgabevektor, der die Sollausgabe des Netzes bei
Eingabe von i darstellt.
Das Paar (i, t) wird dann als Lernmuster für N bezeichnet, i wird dabei als Eingabemuster, t als