Darstellung und Analyse hydrologischer Topologien auf der Basis ...

60 Problemanalyse und Lösungsentwicklung
Satz 1 (Monotonieverhalten von E)
∀v ∈ U S :
∂E
∂w N v
⎧
⎨≥ 0 falls w N ∈ W≥
N (2.7.20)
⎩
≤ 0 falls w N ∈ W≤ N. BEWEIS
Um eine Aussage über die Monotonie der Fehlerfunktion in den Gewichten der Düngekanten
machen zu können, wird ihr Gradient mit Hilfe der Kettenregel dargestellt:
∀v ∈ U S :
∂E
∂w N v
= ∂E
∂a uout
∂a uout
∂w N v
(2.7.21)
Für den zweiten Faktor kann wegen (2.7.16) und (2.7.17) festgestellt werden, dass die Ausgabe
a uout des Ausgabeneurons eine monoton steigende Funktion der Gewichte der Düngekanten ist:
∀v ∈ U S : ∂a u out
∂w N v
≥ 0. (2.7.22)
Nun muss noch der erste Term untersucht werden. Der Verlauf von E in der Aktivierung a uout des
Ausgabeneurons lässt sich wegen (2.7.13) wie folgt beschreiben:
∂E
∂a uout
= a uout − z max
E
⎧
⎨≥ 0 falls w N ∈ W≥
N
⎩
≤ 0 falls w N ∈ W≤
N
(2.7.23)
Zusammen mit (2.7.22) folgt daraus (2.7.20).
Aus Satz 1 können folgende Schlussfolgerungen über die für das BP ∗ -Verfahren relevante Menge
W≥ N von Gewichtskonfigurationen gezogen werden:
• E besitzt in W N ≥ nur ein (möglicherweise lokales) Minimum E min . Die Urbildmenge von E min
kann sowohl aus einer einzelnen Konfiguration von Düngekantengewichten bestehen, als auch
aus einer Menge solcher Konfigurationen.
• Da das BP ∗ -Verfahren einen Gradientenabstieg in E realisiert, nähert es sich bei geeigneter
Wahl der Verfahrensparameter einem Element der Urbildmenge von E min an. Probleme stellen
lediglich mögliche Plateaus der Fehlerfunktion dar (S. 42), die zu einem vorzeitigen Ansprechen
der zweiten Haltebedingung des BP ∗ -Verfahrens (S. 54) führen und somit ein Auffinden von
E min verhindern können.
• Da das BP ∗ -Verfahren einen Gradientenabstieg in E realisiert und E in den Gewichten aller
Düngekanten monoton steigend ist, wird keines dieser Gewichte während des BP ∗ -Verfahrens
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