wahrscheinlichkeit

Anmerkungen. 203ist es von besonderem Interesse, daß dies, wie der mathematischeBeweis ergibt, auch unabhängig von der a priori-Wahrscheinlichkeit n, gilt; n, war die Wahrscheinlichkeit,die dafür besteht, bei blindem Herausgreifen einerUrne aus allen vorhandenen gerade eine mit bestimmtemMischungsverhältnis x zu erfassen. Ob nun diese Wahrscheinlichkeitn, einer Gleichverteilung der Urnen entspricht oderganz andere Werte hat, jedenfalls verliert sich ihr Einflußmit wachsendem n. Man kann somit das ,,Bayes-LaplacescheTheorem" etwa so aussprechen: Wenn in n Zügen aus einerUrne mit schwarzen und weißen Kugeln die weißen mit derrelativen Häufigkeit a erschienen sind, so geht mit wachsendemrt die Wahrscheinlichkeit gegen Eins, die dafür besteht,daß das Mischungsverhältnis x der Urne, aus der gezogenwurde, zwischen a + E und a -E liegt, unabhängig von derBeschaffenheit der a priori-Wahrscheinlichkeit (die „zweiArten von Annäherungen", von denen Laplace im Text [S. 481spricht, sind in dieser Formulierung deutlich zu ersehen).Auch hier hat Laplace das allgemeine Gesetz angegeben,von dem dieses Theorem nur eine besondere Folgerungdarstellt, indem er den Limes für große n. berechnet hat, demdie Wahrscheinlichkeit s e 1b s t zustrebt, die bei dieser Aufgabefür ein beliebiges Mischungsverhältnis x besteht. DieserLimes führt wieder auf ein e-"'-Gesetz(aber mit ganz andernKonstanten als bei dem Grenzübergang, der dem BernoullischenProblem entspricht), und das in Rede stehende Theoremspricht - mathematisch gesehen - auch hier nur einespezielle Eigenschaft dieses Grenzüberganges aus, nämlichwieder eine ,,Verdichtungs"-Eigenschaft.110 312 + 105287Zu S. 50. 2037615: = 28, 3528.3Zu S. 53 unten ff. Diese interessante Aufgabe löst Laplacein der Theorie analytique nach der Methode der Differenzengleichungen.Neuerdings findet sie eine Bearbeitung vonHos t ins ky (,,Sur les transformations iterees des variablesaleatoires", Publ. de l'universit~ de Masaryk 1928, S. 21ff.).Man kann sich vorstellen, daß ein ,,Zug" darin besteht,gleichzeitig aus jeder der k Grnen eine Kugel herauszugreifenund in die nächste Urne zu legen. Man betrachtetdann gedanklich nur eine der zwei Kugelsorten, z. B. die