wahrscheinlichkeit

die s gegebenen Zahlen enthalten. Diese letztgenannte Anzahlist augenscheinlich gleich der Anzahl der Kombinationen derübrigen Zahlen zu je r-s. Dieser Bruch wird die verlangteWahrscheinlichkeit sein, und man wird leicht finden, da6er sich auf einen Bruch reduziert, dessen Zähler die Anzahlder Kombinationen von r Zahlen zu je s und dessen Nennerdie Anzahl der Kombinationen der lz Zahlen gleichfalls zuje s ist. In der Lotterie von Frankreich z. B., die, wie manweiß, aus 90 Nummern besteht, wovon 5 bei jeder Ziehungherauskommen, ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine gegebene5 1Ziffer herauskomme, oder -; die Lotterie sollte dann90 18also im Interesse der Spielgleichheit den lSfachen Einsatz auszahlen.Die Gesamtzahl der Kombinationen von 90 Nummernzu je zweien ist 4005, und die der Kombinationen von5 Nummern zu je zweien ist 10. Die Wahrscheinlichkeit,daß ein gegebener Ambo herauskommt, ist also ---, und400,5die Lotterie sollte also das vierhundert- und einhalbfachedes Einsatzes auszahlen; sie sollte das 11748fache für einenTerno, das 511038fache für einen Quaterno und das 43949268-fache für einen Quinterno auszahlen. Die Lotterie biet,etaber den Spielern auch nicht entfernt diese Vort'eile.Nehmen wir an, in einer Urne wären a weiße und bschwarze Kugeln und man lege jedesmal, wenn man eineKugel herausgenommen hat, sie wieder in die Urne zurück;man fragt nach der Wahrscheinlichkeit, unter 9% Zügenm weiße und n-urt ~chwarze Kugeln zu ziehen. Es ist klar,da,ß die Zahl der Fälle, die bei jedem Zuge eintreten können,a + b ist. Da jeder Fall des zweiten Zuges sich mit allenFällen des erfiten Zuges kombinieren bann, so ist die Zahlder möglichen Fälle in zwei Bügen das Quadrat des Binoniesa + b. In der Entwicklung die~es Quadrates drückt dasQuadrat von a die Zahl der Fälle aus, in welchen man zweimaleine weiße Kugel herauszieht; das doppelt,e Produktvon a mit b drückt die Zahl der Fälle a,us, in welchen eineweiße und eine schwarze Kugel gezogen wurden; endlichdrückt das Quadrat von b die Zahl der Fälle aus, in denenman zwei schwarze Kugeln zieht. Fährt man so fort, so siehtman allgemein, daß die m-te Pot'enz des Binomes a + b1