wahrscheinlichkeit

Von den analytischen Methoden usw.19Wenn man das Produkt der Binome bildet: Eins plueeinem ersten Buchstaben, Eins plus einem zweiten Buchstaben,Eins plus einem dritten Buchstaben und so fortbis zu n. Buchstaben, und wenn man von dem entwickeltenProdukte Eins abzieht, so erhält man die Summeder Kombinationen aller dieser Buchstaben zu je einem,ZU je zweien, dreien etc., wobei jede Kombination denKoeffizienten Eins hat. Zur Berechnung der Anzahl derKombinationen dieser n Buchstaben zu je s nehme mandiese Buchstaben untereinander gleich an und beachte, daßdann das obige Produkt in die n-te Potenz des Binomes:Eins plus dem ersten Buchstaben übergeht; so wird die Zahlder Kombinationen der lz Buchstaben zu je s zum Koeffizientender s-ten Potenz des ersten Buchstaben in der Entwicklungdieses Binomes; man erhält also diese Zahl durchdie bekannte Binomialformel.Man berücksichtigt die gegenseitige Stellung der Buchstabenin jeder Kombination durch folgende Beobachtung:fügt man dem ersten Buchstaben einen zweiten hinzu, so kanndieser an die erste oder zweite Stelle gesetzt werden, waszwei Kombinationen ergibt. Wenn man diesen Kombinationeneinen dritten Buchstaben hinzufügt, so kann manihm in jeder der Kombinationen die erste, die zweite oderdie dritte Stelle zuweisen, was drei Kombinationen für jededer beiden anderen, im ganzen also sechs Kombinationenergibt. Daraus ist leicht zu folgern, daß die Anzahl derAnordnungen, die mit s Buchstaben vorgenommen werdenkönnen, gleich dem Produkt der Zahlen von Eins bis s ist;man muß also, um auf die gegenseitige Stellung der BuchstabenRücksicht zu nehmen, mit diesem Produkte die Zahlder Kombinationen der TZ Buchstaben zu je s multiplizieren,was darauf hinausläuft, daß man im Binomialkoeffizienten,der diese Anzahl der Kombinationen darstellt, den Nennerwegläßt.Denken wir uns eine Lotterie mit n Nummern, von denenY bei jedem Zuge herauskommen: man fragt nach der Wahrscheinlichkeit,daß s gegebene Nummern bei einem Zugeherauskommen. Zu diesem Zweck werden wir einen Bruchbilden, dessen Kenner die Anzahl aller möglichen Fälle,d. h. der Kombinationen von n Nummern zu je r, und dessenZähler die Anzahl aller jener Kombinationen sein wird, welche