wahrscheinlichkeit

Von den analytischen Methoden usw. 23Bedingung, daß derjenige, der zuerst den anderen eine gegebeneAnzahl mal besiegt hat, die Partie gewinnen und dieSumme der Spieleinsätze erhalten soll: nach einigen Spielenkommen die Spieler überein, die Partie, ohne sie beendet zuhaben, aufzugeben; man fragt, wie jene Summe unter sieverteilt werden soll. Es ist klar, daß die Teile den bezüglichenGewinnwahrscheinlichkeiten proportional seinmiissen; die Frage reduziert sich also auf die Bestimmungdieser Wahrscheinlichkeiten. Diese hängen augenscheinlichvon der Anzahl der Points ab, welche jedem der Spieler zurErreichung der gegebenen Zahl noch fehlen. Also ist die Wahrscheinlichkeitdes A eine Funktion dieser zwei Zahlen, diewir Indices nennen wollen. Wnn die beiden Spieler übereinkämen,noch ein Spiel zu machen (wodurch ihr Losnicht geändert wird, vorausgesetzt daß nach diesemneuen Spiele die Teilung wieder den neuen Gewinnwahrscheinlichkeitenproportional erfolgt), dann würde entwederA dieses Spiel gewinnen, und es würde in diesem Fall die Zahlder ihm fehlenden Points um Eins vermindert werden;oder der Spieler B gewänne, und in diesem Fall würde dieZahl der diesem fehlenden Points um Eins kleiner werden.1Aber die Wahrscheinlichkeit eines jeden dieser Fälle ist -; 2die gesuchte Funktion ist also gleich der Hälfte derselbenFunktion, in welcher man den ersten Index um Eins vermindert,plus der Hälfte derselben Funktion, in welcher derzweite Index um Eins vermindert ist. Diese Gleichheit ist,eine jener Gleichungen, die man ,,partielle Differenzengleichungen"nennt.Man kann mit deren Hilfe die Wahrscheinlichkeitendes A bestimmen, indem man von den kleinsten Wertenausgeht und beachtet, daß die Wahrscheinlichkeit oder die~iedarstellende Funktion gleich Eins ist, wenn dem SpielerA kein Point fehlt, oder wenn der erste Index Null ist, unddaß diese Funktion zugleich mit dem zweiten Index Nullwird. Nimmt man also an, daß dem Spieler A nur ein Point1 3 7fehlt, so findet man seine Wahrscheinlichkeit gleich ---2' 4' 8etc., je nachdem dem B ein, zwei, drei etc. Points fehlen.Allgemein gesprochen ist sie dann gleich Eins, vermindert.