wahrscheinlichkeit

Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.45eine auffällige Regelmäßigkeit entstehen, die sich an eineAbsicht zu halten scheint, und welche man als einen Beweisder Vorsehung betrachtet hat. Aber wenn man darübernachdenkt, erkennt man bald, daß diese Regelmiißigkeitnur die Entwicklung der bezüglichen Möglichkeiten der einfachenEreignisse ist, die um so öfter eintreten müssen, jewahrscheinlicher sie sind. Denken wir uns z. B. eine Urne,die weiße und schwarze Kugeln enthält, und nehmen wir an,da% man jedesmal, wenn eine Kugel herausgezogen wird,sie wieder in die Urne zurücklegt, um zu einer neuen Ziehungzu schreiten. Das Verhältnis der Anzahl der herausgezogenenweißen Kugeln zur Anzahl der herausgezogenen schwarzenKugeln wird in den ersten Zügen zumeist sehr unregelmäßigsein; aber die veränderlichen Ursachen dieser Unregelmäßigkeitbringen Wirkungen hervor, die einmal demregelmäßigen Gange der Ereignisse günstig, dann wiederentgegen sind und welche, indem sie sich gegenseitig in derGesamtheit einer großen Zahl von Zügen aufheben, mehrund mehr das Verhältnis der weißen zu den schwarzen, inder Urne enthaltenen Kugeln oder die bezüglichen Möglichkeitenfür das Herausziehen einer weißen oder schwarzenKugel bei jedem Zuge erkennen lassen. Daraus ergibt sichfolgendes Theorem.Die Wahrscheinlichkeit, daß das Verhältnis der Anzahlder herausgezogenen weißen zur Gesamtzahl aller herausgezogenenKugeln von dem Verhältnis der Anzahl der weißenzur Gesamtzahl aller in der Urne enthaltenen Kugeln nichttlber eine vorgegebene Große hinaus abweicht, niihert sichbei unbeschränkter Vervielfältigung der Ereignisse der Gewißheit,wie klein man auch jene Größe annehmen mag.Dieses Theorem, eingegeben vom gesunden Mensohenverstand,war durch die Analysis schwierig zu beweisen.Daher legte auch der berühmte Geometer Jakob Bernouilli,der sich als erster damit beschäftigt hat, dem Beweise, dener davon gab, große Wichtigkeit bei. Wendet man den Kalktilder erzeugenden Funktionen auf diesen Gegenstand an,so bewei~t man nicht nur mit Leichtigkeit dieses Theorem,sondern erhält außerdem noch die Wahrscheinlichkeit dafür,da% das Verhältnis der beobachteten Ereignisse nur innerhalbgewisser Grenzen von dem wahren Verhältnis ihrerbezüglichen Möglichkeiten abweicht.