wahrscheinlichkeit

26 P. S. de Laplace:einer Funktion der die Stellung des Gliedes bestimmendenIndices, enthalten sein. Dieser Ausdruck ist das Integralder vorgelegten Differenzengleichung und seine Ermittelungist Gegenstand der Integralrechnung.Taylor ist der erste, der in seinem ,,Met h o du s incr e -me n t o r u m " betitelten Werke die linearen Differenzengleichungenbetrachtet hatte. Er gibt dort die Methode an,wie man jene erster Ordnung niit einem Koeffizienten undeinem absoluten Gliede, welche beide Funktionen des Indexsind, integriert. In Wahrheit sind die Beziehungen zwischenden Gliedern der arithmetischen und geometrischen Progressionen,mit denen man sich zu allen Zeiten beschäftigthat, die einfachsten Fälle linearer Differenzengleichungen;aber man hatte sie nicht unter diesem ~esicbts~unktebetrachtet, der einer von jenen ist, die durch ihren Zusammenhangmit allgemeinen Theorien zu diesen hinführenund dadurch zu wahren Entdeckungen werden.Um dieselbe Zeit beschäftigte sich Moivre unter demNamen ,,rekurrenter Reihen" mit Differenzengleichungen beliebigerOrdnung mit konstanten Koeffizienten. Es gelangihm, dieselben auf eine sehr ~innreiche Art zu integrieren.Da es immer interessant ist, den Gedankendang der Entdeckernachzugehen, will ich den Moivres darlegen, indem ich seinVerfahren auf eine rekurrente Reihe, für welche eine Gleichungzwischen drei aufeinander folgenden Gliedern gegeben ist,anwende. Zuerst betrachtet er die Beziehung zwischen denaufeinander folgenden Gliedern einer geometrischen Progressionoder die zweigliedrige Gleichung, die jene Beziehungausdruckt. Nachdem er ~ie für die um Eins niedrigerenGlieder angesetzt hat, multipliziert er sie in dieser Formmit einem konstanten Faktor und zieht das Produkt von derursprünglichen Gleichung ab. Dadurch erhält er eine Gleichungzwischen drei aufeinander folgenden Gliedern dergeometrischen Progression. Moivre betrachtet sodann einezweite Progression, deren Quotient der soeben benutzteFaktor ist. Kun vermindert er in analo~er Weise den Index"der Glieder in der Gleichung dieser neuen Progression umeine Einheit: in dieser Form multipliziert er sie mit demQuotienten der ersten Progression und zieht das Produktvon der Gleichung der zweiten Prcgression ab; dadurch erhälter eine Beziehung zwischen drei aufeinander folgenden