wahrscheinlichkeit

36 P. S. de Laplace:Integrale von Differenzengleichungen in ähnliche Integraleumzuformen. Ich habe dies durch eine Methode erreicht,welche mit der unter dem Integralzeichen enthaltenen Funktionzugleich die Grenzen der Integration gibt. Bemerkenswertist hierbei, daß diese Funktion gerade die erzeugendeFunktion der vorgelegten Ausdrücke und Gleichungen ist,wodurch diese Methode an die Theorie der erzeugenden Funktionenanknüpft, zu der sie so eine Ergänzung bildet. Eshandelte sich sodann nur mehr um die Zurückführung - desbestimmten Integrales auf eine konvergente Reihe. Dashabe ich durch ein Verfahren erreicht, bei dem die Reiheum so rascher konvergiert, je komplizierter die Formel ist,die sie darstellt, so daß das Verfahren um so genauer ist,je notwendiger es wird. Am häufigsten hat die Reihe zumFaktor die Quadratwurzel aus dem Verhältnis des Kreisumfangeszum Durchmesser; zuweilen hängt sie von anderenTranszendenten ab, deren Anzahl unendlich groß ist.Eine wichtige Bemerkung, die mit der großen Allgemeinheitder Analysis zusammenhängt, und welche dieseMethode auf Formeln der Differenzenrechnung und Differenzengleichungen,wie sie die Wahrscheinlichkeitstheorie amhäufigsten darbietet, auszudehnen gestattet, besteht darin,daß die Reihen, auf die man geführt wird, wenn man dieGrenzen der bestimmten Integrale reell und positiv voraussetzt,ebenfalls auftreten, wenn die die Grenzen bestimmendeGleichung nur negative und imaginäre Wurzeln hat. Diesecbergänge vom Positiven zum Negativen und vom Reellenzum Imaginären, wovon ich als erster Gebrauch gemachthabe, führten mich auch noch auf die Auswertung mehrerersingulärer bestimmter Integrale, die ich sodann auch direktberechnet habe. Man kann somit diese Obergärige als einMittel der Entdeckung betrachten, ähnlich der Induktionund Analogie, die von den Geometern seit langer Zeit zuerstmit außerordentlicher Vorsicht, dann als eine große Reihevon Beispielen ihre Anwendung gerechtfertigt hatte, mitvollständigem Vertrauen verwendet wurden. Allein es istimmer notwendig, durch direkte Beweisführungen diedurch diese Mittel erhaltenen Resultate zu ~ichern.Ich habe die Gesamtheit der früher betrachteten Methoden,,Calcül mit erzeugenden Funktionen" genannt ; erdient als Grundlage dem Werk, das ich unter dem Titel „Ans-