wahrscheinlichkeit

Von den analytischen Methoden usw. 31wird man die n-te Differenz dieser Funktion, worin x sich umi Einheiten ändert, durch eine Reihe von Differenzen derselbenFunktion, in der sich x um Eins ändert, ausgedrückterhalten. Diese Reihe ist nur eine Umformung der Differenz,die durch sie dargestellt wird und mit der sie identisch ist;aber auf solchen Umformungen beruht eben die Macht derAnalysis.Die Allgemeinheit der Analysis gestattet in dieser Darstellung,n negativ anzunehmen. Dann stellen die negativenPotenzen von 6 und A Integrale dar. In der Tat: da die erzeugendeFunktion der n-ten Differenz der Primitiv-Funktion1das Produkt von V mit der n-ten Potenz des Binomes -- 1tist, hat die Primitiv-Funktion, welche das n-te Integraldieser Differenz ist, zur erzeugenden Funktion das Produktaus der erzeugenden Funktion derselben Differenz mit dernegativen n-ten Potenz des Binomes --I; und diesertnegativen Potenz entspricht dieselbe Potenz des Buchstaben A ;diese Potenz bezeichnet also ein Integral derselben Ordnung,wobei der Index x sich um die Einheit ändert; während dienegativen Potenzen von 6 Integrale anzeigen, wobei x sichum i Einheiten ändert. Man erkennt so auf die klarste undeinfachste Weise den Grund für die beobachtete Analogiezwischen den positiven Potenzen und den Differenzen, undzwischen den negativen Potenzen und den Integralen.Wenn die Funktion, die durch den vor die Primitiv-Funktion gesetzten Buchstaben 6 bezeichnet wird, gleich Nullgesetzt wird, so hat man eine endliche Differenzengleichung,und V ist die erzeugende Funktion ihres Integrales. Um dieseerzeugende Funktion zu erhalten, bemerke man, daß in demProdukte V . T alle Potenzen von t verschwinden müssenmit Ausnahme derer, die niedriger sind als die Ordnung derDifferenzengleichung; somit ist V ein Bruch, dessen Nenner Tund dessen Zähler ein Polynom ist, worin die höchste Potenzvon t um Eins kleiner als die Ordnung der Differenzengleichungist. Die willkürlichen Koeffizienten der verschiedenen Potenzenvon t in diesem Polynom werden, einschließlich dernullten Potenz, durch ebensoviele Werte der Primitiv-Funktionbestimmt, indem man darin für x sukzessive 0, 1, 2 etc.1