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Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Ejemplos desviaciones típicas experimentales de estas medias, calculadas mediante las ecuaciones (3) y (5) de 4.2. Las medias son consideradas como las mejores estimaciones de los valores esperados de las magnitudes de entrada y las desviaciones típicas experimentales son las incertidumbres típicas de estas medias. Como las medias V , I y φ han sido obtenidas a partir de observaciones simultáneas, se hallan correlacionadas, y deben tenerse en cuenta estas correlaciones en la evaluación de las incertidumbres típicas de los mensurandos R, X y Z. Los coeficientes de correlación necesarios se obtienen fácilmente a partir de la ecuación (14) de 5.2.2, utilizando los valores de s ( V , I ) , s ( V , φ ) y s ( I , φ ) calculados a partir de la ecuación (17) de 5.2.3. Los resultados se incluyen en la tabla H.2, debiendo recordarse que r(xi,xj) = r(xj,xi) y que r(xi,xi) = 1. Tabla H.2: Valores de las magnitudes de entrada V, I y φ, obtenidos a partir de cinco conjuntos de observaciones simultáneas Conjunto número Magnitudes de entrada k 1 2 3 4 5 V (V) 5,007 4,994 5,005 4,990 4,999 I (mA) 19,663 19,639 19,640 19,685 19,678 φ (rad) 1,045 6 1,043 8 1,046 8 1,042 8 1,043 3 Media aritmética V = 4,999 0 I = 19,661 0 φ = 1,044 46 Desviación típica experimental de la media H.2.3 Resultados: aproximación nº 1 s (V ) = 0,003 2 La aproximación nº 1 se resume en la tabla H.3. Coeficientes de correlación r ( V, I) = - 0,36 r ( V, φ) = s ( I ) = 0,009 5 s (φ ) = 0,000 75 JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 90 0,86 r ( I, φ) = - 0,65 Los valores de los tres mensurandos R, X y Z se obtienen a partir de las relaciones dadas en la ecuación (H.7), utilizando los valores medios V , I y φ de V, I y φ, dados en la tabla H.2. Las incertidumbres típicas de R, X y Z se obtienen a partir de la ecuación (16) de 5.2.2 ya que, como se indicó anteriormente, las magnitudes de entrada, V , I y φ , están correlacionadas. Por ejemplo, consideremos Z = V / I . Identificando V con x1, I con x2 y f con Z = V / I , la ecuación (16) de 5.2.2 da, para la incertidumbre típica combinada de Z: 2 2 2 ⎡1 ⎤ 2 ⎡ V ⎤ 2 ⎡1 ⎤⎡ V ⎤ uc ( Z ) = ⎢ u ( V ) u ( I ) 2 u( V ) u( I ) r( V , I ) I ⎥ + ⎢ 2 ⎥ + ⎢ ⎢− I ⎥ 2 ⎥ (H.8a) ⎣ ⎦ ⎢⎣ I ⎥⎦ ⎣ ⎦⎢⎣ I ⎥⎦
Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Ejemplos o 2 ⎡u( V ) ⎤ ⎡u( I ) ⎤ ⎡u( V ) ⎤⎡ u( I ) ⎤ = Z ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ (H.8b) ⎣ V ⎦ ⎣ I ⎦ ⎣ V ⎦⎣ I ⎦ 2 2 uc 2 2 2 + Z − 2Z r( V , I ) 2 2 2 uc, r ( Z ) = ur ( V ) + ur ( I ) − 2ur ( V ) ur ( I ) r( V , I ) (H.8c) donde u ( V ) = s( V ) , u ( I) = s( I) , y donde el subíndice “r” en la última expresión indica que u es una incertidumbre relativa. Sustituyendo los adecuados valores de la tabla H.2 en la ecuación (H.8a) se obtiene uc(Z) = 0,236 Ω. Puesto que los tres mensurandos o magnitudes de salida dependen de las mismas magnitudes de entrada, también están correlacionados entre sí. Los elementos de la matriz de covarianzas que describe la correlación, pueden escribirse, en el caso más general como N N ∂ yl ∂ ym u( yl , ym ) = ∑∑ u( xi ) u( x j ) r( xi , x j ) ∂ x ∂ x i= 1 j= 1 i j donde yl = fl (x1, x2, ..., xN) e ym = fm (x1, x2, ..., xN). La ecuación (H.9) es una generalización de la ecuación (F.2) de F.1.2.3 cuando las ql de dicha expresión están correlacionadas. Los coeficientes de correlación estimados de las magnitudes de entrada vienen dados por r(yl, ym) = u(yl, ym) / u(yl)u(ym), tal como se indica en la ecuación (14) de 5.2.2. Debe observarse que los elementos diagonales de la matriz de covarianzas, u(yl,yl) ≡ u 2 (yl) son las varianzas estimadas de las magnitudes de salida yl (véase 5.2.2, nota 2) y que para m = l, la ecuación (H.9) es idéntica a la ecuación (16) de 5.2.2. Para aplicar la ecuación (H.9) a este ejemplo, se procede a realizar los siguientes cambios de variable: y1 = R x1 = V u(xi) = s(xi) y2 = X x2 = I N = 3 y3 = Z x3 = φ Los resultados de los cálculos de R, X y Z y de las estimaciones de sus varianzas y coeficientes de correlación se dan en la tabla H.3. Tabla H.3: Valores de las magnitudes de salida R, X y Z, calculados según la aproximación nº 1 Índice del mensurando l Relación entre la estimación del mensurando yl y las estimaciones de entrada xi Valor de la estimación yl (resultado de medida) 1 y1 = R = ( V / I ) cos φ y1 = R = 127,732 Ω 2 y2 = X = ( V / I ) sen φ y2 = X = 219,847 Ω 3 y3 = Z = ( V / I ) y3 = Z = 254,260 Ω Coeficientes de correlación r(yl,ym) r(y1,y2) = r(R,X) = −0,588 r(y1,y3) = r(R,Z) = −0,485 r(y2,y3) = r(X,Z) = 0,993 Incertidumbre típica combinada uc(yl) del resultado de medida uc(R) = 0,071 Ω uc(R)/R = 0,06 x 10 -2 uc(X) = 0,295 Ω uc(X)/X = 0,13 x 10 -2 uc(Z) = 0,236 Ω uc(Z)/Z = 0,09 x 10 -2 JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 91 (H.9)
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