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Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Guía práctica sobre la eval. de componentes de incert.
EJEMPLO 1 Una resistencia patrón RS se utiliza en la misma medición para determinar tanto una intensidad I como una temperatura t.
La corriente se determina midiendo, con un voltímetro digital, la diferencia de potencial en los bornes del patrón; la temperatura se
determina midiendo, con un puente de resistencias y el patrón, la resistencia Rt(t) de un sensor de temperatura resistivo calibrado, cuya
relación temperatura-resistencia en el rango 15 °C ≤ t ≤ 30 °C viene dada por t = aRt 2 (t) − t0 siendo a y t0 constantes conocidas. Así, la
intensidad viene determinada por la relación I = VS /RS y la temperatura por la relación t = aβ 2 (t)R 2 S − t0, donde β(t) es la relación
medida Rt(t) / RS, proporcionada por el puente.
Como la magnitud RS es la única común a las expresiones para I y t, la ecuación (F.2) da para la covarianza de I y t
2 2 2I
( t + t0
) 2
[ 2 ( t)
RS
] u ( RS
) = − u ( R )
∂ I ∂ t ⎛
2 V ⎞
S
u(
I,
t)
= u ( RS
) = ⎜−
⎟ αβ
2
2 S
∂RS
∂R
⎜
S
R ⎟
⎝ S ⎠
RS
(Por simplicidad de notación, en este ejemplo se utiliza el mismo símbolo tanto para la magnitud de entrada como para su estimación).
Para obtener el valor numérico de la covarianza, se sustituyen en esta expresión los valores numéricos de las magnitudes medidas I y t,
así como los valores de RS y de u(RS) dados en el certificado de calibración de la resistencia patrón. Está claro que la unidad de u(I, t)
es A·°C, ya que la dimensión de la varianza relativa [u(RS)/RS] 2 es igual a la unidad (esta última es pues una magnitud sin dimensión o
adimensional).
Supongamos además una magnitud P relacionada con las magnitudes de entrada I y t mediante la ecuación P = C0 I 2 /(T0+t), donde C0 y
T0 son constantes conocidas, con incertidumbre despreciable [u 2 (C0) ≈ 0, u 2 (T0) ≈ 0]. Aplicando la ecuación (13) de 5.2.2, para la
varianza de P en función de las varianzas de I, de t y de su covarianza, se obtiene
2
2
2
u ( P)
u ( I)
u(
I,
t)
u ( t)
= 4 − 4 +
2 2 I(
T
2
P I
0 + t)
( T0
+ t)
Las varianzas u 2 (I) y u 2 (t) se obtienen aplicando la ecuación (10) de 5.1.2 a las relaciones I = VS / RS y t = aβ 2 (t)RS 2 − t0.
Los resultados son
2 2 2 2 2 2
u ( I ) / I = u ( VS
) / VS
+ u ( RS
) / RS
2
2 2 2
2 2 2
u ( t)
= 4(
t + t0
) u ( β ) / β + 4(
t + t0
) u ( RS)
/ RS
donde, por simplicidad, se supone que las incertidumbres de las constantes t0 y a son también despreciables. Estas expresiones pueden
evaluarse de forma sencilla, ya que u 2 (VS) y u 2 (β ) pueden determinarse, respectivamente, a partir de las lecturas repetidas del voltímetro
y del puente de resistencias. Naturalmente, a la hora de determinar u 2 (VS) y u 2 (β) es necesario tener en cuenta las incertidumbres
inherentes a los propios instrumentos y procedimientos de medida empleados.
EJEMPLO 2 En el ejemplo de la nota 1 de 5.2.2, supongamos que la calibración de cada resistencia venga representada por Ri =
αiRS, siendo u(αi) la incertidumbre típica de la relación αi medida, obtenida a partir de observaciones repetidas. Supongamos además
que αi ≈ 1 para cada resistencia, y que u(αi) sea prácticamente la misma para cada calibración, de forma que u(αi) ≈ u(α). Entonces, las
ecuaciones (F.1) y (F.2) dan u 2 (Ri)=RS 2 u 2 (α)+u 2 (RS) y u(Ri, Rj)= u 2 (RS). Esto supone, según la ecuación (14) de 5.2.2, que el coeficiente
de correlación de dos resistencias cualesquiera (i≠j) es:
−1
⎧
2 ⎫
⎪ ⎡ u(
α)
⎤ ⎪
r( Ri
, R j ) ≡ rij
= ⎨1
+ ⎢ ⎥ ⎬
⎪⎩
⎣u(
RS
) / RS
⎦ ⎪⎭
Dado que u(RS) / RS = 10 -4 , si u(α) = 100 × 10 -6 , rij ≈ 0,5; si u(α) = 10 × 10 -6 , rij ≈ 0,990; y si u(α) = 1 × 10 -6 , rij ≈ 1,000. O sea, cuando
u(α) → 0, rij → 1 y u(Ri) → u(RS).
NOTA En general, en las calibraciones por comparación como las de este ejemplo, los valores estimados de los elementos en
calibración se encuentran correlacionados, con un grado de correlación dependiente de la relación existente entre la incertidumbre de la
comparación y la incertidumbre del patrón de referencia. Cuando, como ocurre frecuentemente en la práctica, la incertidumbre de la
comparación es despreciable frente a la incertidumbre del patrón, los coeficientes de correlación son iguales a +1, y la incertidumbre de
cada elemento en calibración es la misma que la del patrón.
F.1.2.4 Puede pasarse por alto la introducción de la covarianza u(xi,xj) siempre que el conjunto original de
magnitudes de entrada X1, X2, ..., XN, de las que depende el mensurando Y [véase ecuación (1) de 4.1] se
redefina de forma que considere adicionalmente como magnitudes de entrada independientes, las magnitudes
Ql que son comunes a dos o más de las Xi originales (puede ser necesario efectuar mediciones complementarias
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