B k A +

Expresión de la incertidumbre de medida : 2008 (Esp) Grados de libertad y niveles de confianza
y C.2.22) si las distribuciones no son normales] y si Y es una función lineal de las magnitudes de entrada; es
decir, Y = c1X1 + c2X2 + ...+ cNXN, la distribución de probabilidad de Y puede entonces obtenerse mediante
convolución de las distribuciones de probabilidad individuales [10]. Los valores de kp que proporcionan
intervalos correspondientes a niveles de confianza específicos p pueden calcularse a partir de la distribución
resultante de la convolución.
G.1.5 Si la relación funcional entre Y y sus magnitudes de entrada no es lineal, y el desarrollo en serie de
Taylor de primer orden no es una aproximación aceptable (véanse 5.1.2 y 5.1.5), la distribución de
probabilidad de Y no puede obtenerse mediante convolución de las distribuciones de las magnitudes de entrada.
En tales casos, es necesario utilizar otros métodos, analíticos o numéricos.
G.1.6 En la práctica, dado que los parámetros que caracterizan las distribuciones de probabilidad de las
magnitudes de entrada son habitualmente estimaciones, que no es realista esperar que el nivel de confianza
correspondiente a un intervalo dado pueda conocerse con un elevado grado de exactitud y que la convolución
de distribuciones de probabilidad es compleja de realizar, tales convoluciones raramente se realizan a la hora
de calcular el intervalo correspondiente a un nivel de confianza específico. En su lugar, se utilizan
aproximaciones basadas en el Teorema del Límite Central.
G.2 Teorema del Límite Central
N
G.2.1 Si Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN = ∑ cX
i=
1 i i
, y todas las Xi vienen caracterizadas por distribuciones
normales, la distribución de Y, resultante de la convolución, también es normal. No obstante, aunque las
distribuciones de Xi no sean normales, es posible suponer una distribución normal para Y, teniendo en cuenta el
Teorema del Límite Central. Este teorema establece que la distribución de Y será aproximadamente normal,
N
con esperanza matemática ( ) ( )
i 1 i i X E c Y E 2
N 2 2
= ∑ y varianza σ ( Y)
=
=
∑ c
i=
i σ ( X
1
i ) , donde E(Xi) es la esperanza
matemática de Xi y σ 2 (Xi) es la varianza de Xi, siempre que las Xi sean independientes y σ 2 (Y) sea mucho
mayor que cualquier otra componente ci 2 σ 2 (Xi) de una Xi cuya distribución no sea normal.
G.2.2 El Teorema del Límite Central es relevante ya que muestra el importante papel que representan las
varianzas de las distribuciones de probabilidad de las magnitudes de entrada, en relación con el representado
por los momentos de mayor orden de dichas distribuciones, en la determinación de la forma de la distribución
de Y, resultante de la convolución. Implica además que la distribución obtenida tras la convolución converge
hacia una distribución normal a medida que aumenta el número de magnitudes de entrada que contribuyen a
σ 2 (Y), que la convergencia será tanto más rápida cuanto más próximos sean entre sí los valores de ci 2 σ 2 (Xi) (lo
que equivale en la práctica a que las estimaciones de entrada xi contribuyen con incertidumbres comparables a
la incertidumbre de la estimación y del mensurando Y), y que cuanto más próximas a la normal sean las
distribuciones de Xi, menor número de ellas será necesario para obtener una distribución normal para Y.
EJEMPLO La distribución rectangular (véase 4.3.7 y 4.4.5) es un caso extremo de distribución no normal, pero la convolución de
incluso un número tan pequeño como tres distribuciones rectangulares de igual amplitud ya es aproximadamente normal. Si la semiamplitud
de cada una de estas tres distribuciones rectangulares es a, de forma que la varianza es a 2 /3, la varianza de la distribución
resultante de la convolución es σ 2 = a 2 . Los intervalos del 95 % y 99 % de la distribución resultante de la convolución vienen definidos
respectivamente por 1,937σ y 2,379σ, mientras que los correspondientes a una distribución normal de la misma desviación típica σ
vienen definidos por 1,960σ y 2,576σ (véase tabla G.1) [10].
NOTA 1 Para todo intervalo con nivel de confianza p superior a aproximadamente un 91,7 %, el valor de kp para una distribución
normal es siempre superior al valor correspondiente de la distribución resultante de la convolución de distribuciones rectangulares,
cualquiera que sea el número y amplitud de éstas.
NOTA 2 Del Teorema del Límite Central se deduce que la distribución de probabilidad de la media aritmética q de n observaciones qk
de una variable aleatoria q con esperanza matemática µq y desviación típica finita σ, se aproxima a una distribución normal de media µq
y desviación típica σ / n , cuando n → ∞, cualquiera que sea la distribución de probabilidad de q.
G.2.3 Una consecuencia práctica del Teorema del Límite Central es que siempre que pueda demostrarse que
se cumplen aproximadamente las hipótesis para su validez, en particular que la incertidumbre típica combinada
uc(y) no esté dominada por una componente de incertidumbre típica obtenida por una evaluación Tipo A basada
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