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Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Ejemplos es la varianza experimental de las K = 5 observaciones efectuadas el día j-ésimo (hay, por tanto, J = 10 estimaciones de varianza); y J 2 1 2 s ( V j) = ∑ ( V j −V) (H.25d) J − 1 j= 1 es la varianza experimental de las J = 10 medias diarias (solamente hay, por tanto, una única estimación de la varianza). H.5.2.2 La consistencia entre la variabilidad “dentro de un día” y la variabilidad “entre días” de las observaciones puede verificarse comparando dos estimaciones independientes de σw 2 , la componente “dentro de un día” de la varianza (es decir, la varianza de las observaciones hechas el mismo día). La primera estimación de σw 2 , representada por sa 2 , se obtiene a partir de la variación observada de las medias diarias V j . Como V j es la media de K observaciones, su varianza 2 s ( V j ) estima σw 2 /K, bajo la hipótesis de que la componente “entre días” de la varianza sea nula. Se deduce entonces de la ecuación (H.25d) que que es una estimación de σw 2 con νa = J − 1 = 9 grados de libertad. ( ) 2 2 s a = K s V K J j 2 = ∑ ( V j −V) (H.26a) J − 1 j= 1 La segunda estimación de σw 2 , representada por sb 2 , es la estimación de la varianza del conjunto de datos obtenidos a partir de los J = 10 valores individuales de 2 s ( Vjk ), utilizando la ecuación de la nota de H.3.6, donde los diez valores individuales se calculan a partir de la ecuación (H.25c). Como el número de grados de libertad de cada uno de estos valores es νi = K − 1, la expresión que resulta para sb 2 es simplemente su media. Entonces que es una estimación de σw 2 con νb = J(K − 1) = 40 grados de libertad. 2 b s J 2 1 2 1 2 = s ( V jk ) = ∑ s ( V jk ) = ∑∑( V jk −V j ) (H.26b) J J ( K −1) j = 1 j = 1 k = 1 Las estimaciones de σw 2 obtenidas mediante las ecuaciones (H.26a) y (H.26b) son, respectivamente, sa 2 = (128 µV) 2 y sb 2 = (85 µV) 2 , (véase tabla H.9). Dado que la estimación sa 2 se basa en la variabilidad de los valores medios diarios, mientras que la estimación sb 2 se basa en la variabilidad de las observaciones diarias, su diferencia indica la posible presencia de algún resultado que varía de un día para otro, pero que permanece relativamente constante cuando las observaciones se hacen el mismo día. Se utiliza el test F para comprobar esta posibilidad y, en consecuencia, que la hipótesis de la componente “entre días” de la varianza sea nula. H.5.2.3 La distribución F es la distribución de probabilidad de la razón F(νa,νb) = sa 2 (νa)/sb 2 (νb) entre dos estimaciones independientes sa 2 (νa) y sb 2 (νb) de la varianza σ 2 de una variable aleatoria que sigue una distribución normal [15]. Los parámetros νa y νb son los grados de libertad de las dos estimaciones, y siendo 0 ≤ F(νa,νb) ≤ ∞. Los valores de F se encuentran tabulados para los diferentes valores de νa y νb y para varios percentiles de la distribución F. Un valor de F(νa,νb) > F0,95 o F(νa,νb) > F0,975 (valor crítico) se interpreta habitualmente como indicativo de que sa 2 (νa) es mayor que sb 2 (νb) en una cantidad estadísticamente significativa, y que la probabilidad de un valor de F tan grande como el observado, si ambas son estimaciones de la misma varianza, es inferior a 0,05 o a 0,025 respectivamente. (Pueden escogerse también otros valores críticos, por ejemplo, F0,99). JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 104 J K
Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Ejemplos Tabla H.9: Resumen de los datos de calibración de tensión obtenidos durante J = 10 días, con medias V j y desviaciones típicas experimentales sV ( jk ), correspondientes a K = 5 observaciones independientes repetidas diariamente. Magnitud Día, j 1 2 3 4 5 V j / (V) 10,000 172 10,000 116 10,000 013 10,000 144 10,000 106 sV ( jk ) / (µV) 60 77 111 101 67 Magnitud Día, j 6 7 8 9 10 V j / (V) 10,000 031 10,000 060 10,000 125 10,000 163 10,000 041 sV ( jk ) / (µV) 93 80 73 88 86 2 2 saKs V j V = 10,000 097 V = ( ) = 5 (57 µV) 2 = (128 µV) 2 H.5.2.4 La aplicación del test F al presente ejemplo numérico da 2 2 s Ks V F a ( j) 2 5 ( 57 μV) ( νa, ν b) = = = = 225 , 2 s 2 2 b s ( Vjk ) ( 85 μV) sVj ( ) = 57 µV 2 2 s = s ( V ) = (85 µV) 2 JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 105 b jk (H.27) con νa = J − 1 = 9 grados de libertad, en el numerador, y νb = J(K − 1) = 40 grados de libertad, en el denominador. Dado que F0,95(9,40) = 2,12 y F0,975(9,40) = 2,45, se concluye que existe un efecto “entre días” estadísticamente significativo, para un nivel de significación del 5 %, pero no para un nivel del 2,5 %. H.5.2.5 Si se rechazara la existencia de un efecto “entre días”, porque la diferencia entre sa 2 y sb 2 no se considerara estadísticamente significativa (decisión imprudente puesto que podría conducir a subestimar la incertidumbre), la varianza estimada 2 s ( V) de V debería calcularse a partir de la ecuación (H.24b). Esta relación equivale a considerar conjuntamente las estimaciones sa 2 y sb 2 , (tomando unos valores de sa 2 y sb 2 ponderados según su número respectivo de grados de libertad νa y νb, véase nota de H.3.6) para obtener la mejor estimación de la varianza de las observaciones, y dividir posteriormente esta estimación por JK, número de observaciones, para obtener la mejor estimación 2 s ( V) de la varianza de la media de las observaciones. Siguiendo este procedimiento se obtiene 2 ( J −1) sa + J ( K −1) s s ( V ) = JK( JK −1) con sV ( ) teniendo JK − 1 = 49 grados de libertad. 2 2 b 2 2 9 ( 128 μV) + 40 ( 85 μV) = (H.28a) ( 10)( 5)( 49) 2 2 s ( V ) = (13 µV) , o sV ( ) = 13 µV (H.28b)
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