B k A +

Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Determinación de la incertidumbre típica combinada
NOTA 1 En rigor, las derivadas parciales son ∂f / ∂xi = ∂ f / ∂ Xi
, calculadas para las esperanzas matemáticas de las Xi. En la práctica,
no obstante, las derivadas parciales se estiman mediante
∂ f ∂ f
=
∂ x ∂ X
i
i x1
, x2
,..., xN
NOTA 2 La incertidumbre típica combinada uc(y) puede calcularse numéricamente reemplazando ciu(xi) en la ecuación (11a) por:
Z
i
1
=
2
{ f [ x ,..., x + u(
x ),..., x ] − f [ x ,..., x − u(
x ), ..., x ] }
1
i
i
Es decir, que ui(y) se evalúa numéricamente calculando la variación de y debida a variaciones de xi, de valores +u(xi) y -u(xi). El valor de
ui(y) puede entonces tomarse igual a ⏐Zi⏐ y el valor del coeficiente de sensibilidad correspondiente ci igual a Zi/u(xi).
EJEMPLO En el ejemplo de 4.1.1, simplificando la notación y utilizando el mismo símbolo para la magnitud y para su estimación,
y
c 1 ≡ ∂ P / ∂ V = 2V
/ 0 α 0 /
2
c2 ≡ ∂ P / ∂ R0
= −V
α −
0
c3 ≡ ∂ P / ∂ α = −V
0 0
0
0 α − 0
N
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1
{ R [ 1 + ( t − t ) ] } = 2P
V
2
/ { R [ 1+
( t − t0
) ] } = P / R0
2
( t − t ) / { R [ 1 + α ( t − t
2
) ] } = −P
( t − t ) / [ 1 + ( t t ) ]
2
α / { R [ 1 + α ( t − t
2
) ] } = −Pα
/ [ 1 + ( t t ) ]
c4 ≡ ∂ P / ∂ t = −V
0
0
α − 0
2
2
2
2
2 ⎡ P ⎤ 2 ⎡ ∂ P ⎤ 2 ⎡ ∂ P ⎤ 2 ⎡ ∂ P ⎤ 2
2
2
2
2
u ( P)
= ⎢ u ( V ) ⎢ ⎥ u ( R0
) + u ( ) + u ( t)
V
⎥ +
R
⎢ ⎥ α
= c
⎢
0
t
⎥ 1 u(
V)
+ c2u(
R0
) + c3u(
α ) + c4u(
t)
⎣ ∂ ⎦ ⎣ ∂ ⎦ ⎣ ∂ α ⎦ ⎣ ∂ ⎦
∂ [ ] [ ] [ ] [ ] =
= u
1
P + u P + u P + u P
2
2 2
3 2
4 2
( ) ( ) ( ) ( )
5.1.4 En lugar de calcularlos a partir de la función f, los coeficientes de sensibilidad ∂f/∂xi pueden
determinarse de forma experimental, midiendo la variación de Y producida por una variación de una Xi dada,
manteniendo constantes las otras magnitudes de entrada. En este caso, el conocimiento de la función f (o de una
parte de ella cuando únicamente se determinan de esta forma algunos coeficientes de sensibilidad) se reduce, en
consecuencia, a un desarrollo empírico en serie de Taylor de primer orden, basado en los coeficientes de
sensibilidad medidos.
5.1.5 Si la ecuación (1) para el mensurando Y se desarrolla en serie alrededor de los valores nominales Xi,0 de
las magnitudes de entrada Xi, entonces, en el primer orden (que es habitualmente una aproximación adecuada),
Y = Y0 + c1δ1 + c2δ2 + +... + cNδN, donde Y0 = f(X1,0, X2,0, ..., XN,0), con los ci = (∂f / ∂Xi), calculados para Xi = Xi,0,
y δi = Xi − Xi,0. De este modo, de cara a un análisis de incertidumbre, es habitual obtener una
aproximación del mensurando mediante una función lineal de sus variables, transformando sus magnitudes de
entrada Xi en δi (véase E.3.1).
EJEMPLO A partir del ejemplo 2 de 4.3.7, la estimación del valor del mensurando V es V = V + Δ V , donde V = 0,928 571 V,
u( V ) = 12 μV, la corrección aditiva Δ V = 0, y u( Δ V ) = 8,7 μV. Como ∂V / ∂V
= 1 y ∂V / ∂(
Δ V)
=1 , la varianza combinada
asociada a V viene dada por:
2 2 2
2
2
u c ( V ) = u ( V ) + u ( ΔV
) = ( 12 μ V) + ( 8,
7 μV)
= 219 x 10 -12 V 2
y la incertidumbre típica combinada es uc(V) = 15 μV, que corresponde a una incertidumbre típica combinada relativa uc(V)/V de
16 x 10 -6 (véase 5.1.6). Este es un ejemplo en el que el mensurando es una función lineal de las magnitudes de las que depende, con los
coeficientes ci = +1. Se deduce de la ecuación (10) que si Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN y las constantes ci = +1 ó -1, entonces:
2
c
u (
y)
=
N
2
∑ i=
1
u ( x )
i
i
i
N