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Exp. de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Motivación y fundamentos de la Recomendación INC-1 (1980)
incertidumbre de su propio resultado, deben poder componer de forma lógica y simple estas incertidumbres
importadas, con las incertidumbres de sus propias observaciones. La Recomendación INC-1 (1980)
proporciona el método.
E.3 Justificación para tratar de forma idéntica todas las componentes de la incertidumbre
La finalidad de este apartado es ilustrar mediante un ejemplo sencillo cómo la Guía trata exactamente de la
misma forma las componentes de la incertidumbre provenientes de efectos aleatorios, y las provenientes de
correcciones estimadas de efectos sistemáticos, a la hora de evaluar la incertidumbre de un resultado de
medida. De esta forma se ejemplifica el punto de vista adoptado en esta Guía, y citado en E.1.1; es decir, que
todas las componentes de la incertidumbre son de la misma naturaleza y deben ser tratadas de forma idéntica.
El punto de partida de la presentación es una demostración simplificada de la expresión matemática de la
propagación de desviaciones típicas, denominada en esta Guía ley de propagación de la incertidumbre.
E.3.1 Supongamos que la magnitud de salida z = f(w1, w2, ..., wN) depende de N magnitudes de entrada
w1, w2, ..., wN, donde cada wi viene descrita por una distribución de probabilidad adecuada. El desarrollo en
serie de Taylor de primer orden, de f alrededor de las esperanzas matemáticas de las wi, E(wi) ≡ μi, es, para las
pequeñas variaciones de z alrededor de µz en función de las pequeñas variaciones de wi alrededor de µi,
N ∂ f
z μz = ( wi
− μi
)
∂ w
− ∑
i= 1 i
donde los términos de grado más elevado se suponen despreciables, y con µz = f(µ1, µ2, ..., µN). El cuadrado de
la diferencia z − µz viene dado entonces por
que puede escribirse en la forma
2
N
2 ⎡ ∂ f ⎤
( z − z ) = ⎢∑
( wi
− μi
) ⎥
i= 1 ∂ wi
⎦
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(E.1)
μ (E.2a)
⎣
2
N
N −1
N
2 ⎛ ∂ f ⎞
2 ∂ f ∂ f
( z − μ z ) = ∑ ⎜ ( wi
μi
) 2
( wi
μi
)( w j μ j )
i 1 ∂ w ⎟ − + ∑∑
− −
= ⎝ i ⎠
i=
1 j= i+
1∂wi∂wj
La esperanza matemática del cuadrado de la diferencia ( z μz
la ecuación (E.2b) conduce a
2
(E.2b)
2
− ) es la varianza de z; es decir, E[(z-µz) 2 ]=σz 2 , y
N
N −1
N
2 ⎛ ∂ f ⎞ 2 ∂ f ∂ f
σ z = ∑ ⎜ σ i 2
σ iσ
j ρij
i ∂ w ⎟ + ∑∑
(E.3)
= 1 ⎝ i ⎠
i=
1 j= i+
1∂wi∂wj
En esta expresión, σi 2 = E[(wi −µi) 2 ] es la varianza de wi y ρij =ν(wi, wj)/(σi 2 σj 2 ) ½ es el coeficiente de
correlación de wi y wj, donde ν(wi, wj) = E[(wi −µi)(wj −µj)] es la covarianza de wi y wj.
NOTA 1 σz 2 y σi 2 son respectivamente los momentos centrales de orden 2 (véase C.2.13 y C.2.22) de las distribuciones de probabilidad
de z y de wi. Una distribución de probabilidad puede caracterizarse completamente mediante su esperanza matemática, su varianza y sus
momentos centrales de mayor orden.
NOTA 2 La ecuación (13) de 5.2.2 [al igual que la ecuación (15)] empleada para calcular la incertidumbre típica combinada es idéntica
a la ecuación (E.3), salvo el hecho de que la ecuación (13) está expresada en términos de estimaciones de varianzas, de desviaciones
típicas y de coeficientes de correlación.
E.3.2 En la terminología tradicional, la ecuación (E.3) se denomina generalmente “ley general de
propagación de errores”, denominación que se aplica mejor a una expresión de la forma