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Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Términos y conceptos estadísticos básicos Ésta se estima estadísticamente mediante z , media aritmética o valor medio de n observaciones independientes zi de la variable aleatoria z, cuya función de densidad de probabilidad es p(z): C.3.2 Varianza 1 z = n n ∑ zi i= 1 La varianza de una variable aleatoria es la esperanza matemática de su desviación respecto a su esperanza matemática, elevada al cuadrado. Por lo tanto, la varianza de una variable aleatoria z con función de densidad de probabilidad p(z) viene dada por ( ) ( ) ( ) z p z 2 μ ∫ − = z z 2 σ Z d donde μz es la esperanza matemática de z. La varianza σ 2 (z) puede estimarse mediante s 2 n 1 ( z ) = ( z − z ) i n −1 y las zi son n observaciones independientes de z. 2 ∑ j , donde z = ∑ j = 1 i= 1 NOTA 1 El factor n - 1 en la expresión de s 2 (zi) proviene de la correlación existente entre zi yz , y refleja el hecho de que hay únicamente n - 1 valores independientes en el conjunto {zi- z }. NOTA 2 Si se conoce la esperanza matemática μz de z, la varianza puede estimarse mediante s 2 1 n −1 n ∑ i= 1 ( z ) = ( z − μ ) i La varianza de la media aritmética de las observaciones es la medida correcta de la incertidumbre de un resultado de medida, en lugar de la varianza de las observaciones individuales. La varianza de una variable z debe distinguirse cuidadosamente de la varianza de la media z . La varianza de la media aritmética de una serie de n observaciones independientes zi de z viene dada por ( z) σ ( zi ) / n experimental de la media C.3.3 Desviación típica s 2 ( z) 2 s = n ( z ) JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 48 1 i 2 Z 2 2 1 n n z i σ = , y se estima mediante la varianza n i 2 = ∑ ( zi − z) n( n −1) i= 1 La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Mientras que una incertidumbre típica tipo A se obtiene tomando la raíz cuadrada de la varianza evaluada estadísticamente, cuando se evalúa una incertidumbre típica tipo B, es a menudo más cómodo obtener primero una desviación típica equivalente, no estadística, y luego obtener la varianza equivalente elevando al cuadrado dicha desviación típica. C.3.4 Covarianza La covarianza de dos variables aleatorias es una medida de su dependencia mutua. La covarianza de dos variables aleatorias y y z se define mediante de donde resulta { [ y − E( y) ][ z E( ) ] } cov( y,z) = cov( z,y) = E − z
Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Términos y conceptos estadísticos básicos cov( y, z) = cov( z, y) = = ∫∫ yz p ∫∫( y − μ y )( z − μz ) p( y, z) ( y, z) dydz− μ y μz donde p(y,z) es la función de densidad de probabilidad conjunta de las dos variables y y z. La covarianza cov(y,z) [también expresada como ν(y,z)] puede estimarse mediante s(yi,zi) obtenida a partir de n pares independientes de observaciones simultáneas yi y zi de y y z, donde ( y − y)( z z) 1 n s( yi, zi) = ∑ i i − n −1 j= 1 1 n y = ∑ y n i = 1 NOTA La covarianza estimada de las dos medias y y z C.3.5 Matriz de covarianzas i y 1 n z = ∑ z n i = 1 , viene dada por ( y z) s( y z ) n s i i , , = . Para una distribución de probabilidad de varias variables, se denomina matriz de covarianzas a la matriz V cuyos elementos son igual a las varianzas y covarianzas de las variables. Los elementos de la diagonal, 2 2 ν z, z ≡ σ z , o s z , z ≡ s z , son las varianzas, mientras que los elementos fuera de la ( ) ( ) ( i i ) ( i ) y, z , o s yi, zi ν son las covarianzas. diagonal, ( ) ( ), C.3.6 Coeficiente de correlación El coeficiente de correlación es una medida de la dependencia relativa mutua de dos variables, y es igual al cociente entre su covarianza y la raíz cuadrada positiva del producto de sus varianzas. Es decir, con las estimaciones r ( yz , ) ( zy , ) ν( yz , ) ( y, y) ( z, z) dydz JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 49 i ν( yz , ) ( y) ( z) ρ = ρ = = ν ν σ σ ( y z ) = r( z , y ) s( yi , zi ) ( y , y ) s( z , z ) i , i i i = = s i i i i s s( yi , zi ) ( y ) s( z ) El coeficiente de correlación es un número entero tal que −1 ≤ ρ ≤ +1, o −1 ≤ r(yi, zi) ≤ +1. NOTA 1 Los coeficientes de correlación son normalmente más útiles que las covarianzas, debido a que ρ y r son números enteros comprendidos en el intervalo de −1 a +1, extremos incluidos, mientras que las covarianzas son frecuentemente magnitudes con dimensiones y órdenes de magnitud poco cómodos. NOTA 2 Para distribuciones de probabilidad de varias variables suele darse frecuentemente la matriz de coeficientes de correlación, en lugar de la matriz de covarianzas. Como ρ(y,y) = 1, y r(yi ,yi) = 1, los elementos de la diagonal de la matriz son iguales a la unidad. NOTA 3 Si las estimaciones de entrada xi y xj están correlacionadas (véase 5.2.2), y una variación δi en xi produce una variación δj en xj, el coeficiente de correlación asociado a xi y xj puede estimarse aproximadamente por ( x , x ) ≈ u( x ) δ / [ u( x ) ] r δ i j i j j i i i
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