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Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Ejemplos Si se supone que todas las correcciones por efectos sistemáticos han sido ya consideradas y que las demás componentes de la incertidumbre son despreciables, entonces el resultado de la calibración puede expresarse como VS = V = 10,000 097 V (véase tabla H.9), con una incertidumbre típica combinada sV ( ) = uc = 13 µV, con 49 grados de libertad. NOTA 1 En la práctica, existirán probablemente componentes de incertidumbre suplementarias, que serán significativas y deberán, en consecuencia, combinarse con la componente de incertidumbre obtenida estadísticamente a partir de las observaciones (véase nota de H.5.1). NOTA 2 Puede demostrarse que la ecuación (H.28a) para 2 s ( V) es equivalente a la ecuación (H.24b), si el doble sumatorio que figura en ésta, y que notaremos como S, lo escribimos de la forma S = [ ] 2 J K ∑∑ ( V jk −V j ) + ( V j −V ) j= 1 k= 1 JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 106 2 a = ( J −1) s + J ( K −1) sb H.5.2.6 Si se aceptara la existencia de un efecto “entre días” (decisión prudente puesto que evita una posible subestimación de la incertidumbre) y se le supone un carácter aleatorio, entonces la varianza 2 s ( V j ) calculada a partir de las J = 10 medias diarias según la ecuación (H.25d) no estima σw 2 /K, como sucedía en H.5.2.2, sino σw 2 /K + σB 2 , donde σB 2 es la componente aleatoria de la varianza “entre días”. Esto implica que donde sw 2 estima a σw 2 , y sB 2 a σB 2 2 . Puesto que ( V jk ) 2 2 2 2 = sw / K B (H.29) s ( V j ) + s s calculada a partir de la ecuación (H.26b) depende 2 2 únicamente de la variabilidad “dentro día” de las observaciones, puede tomarse s w = s ( V jk ) . La relación 2 2 Ks ( V ) / s ( V ) utilizada para el test F en H.5.2.4 se convierte entonces en j jk lo que conduce a F 2 2 2 Ks ( V j ) sw + Ks 2 = = B 5 ( 57 μV) 2 2 = = 225 , s ( V ) s 2 jk w ( 85 μV) s 2 B 2 2 (H.30) K s ( V j ) − s ( V jk ) = (H.31a) K 2 s B = (43 µV) 2 , o sB = 43 µV 2 2 w jk ( ) V s s = = (85 µV)2 , ó sw = 85 µV (H.31b) La varianza estimada de V se obtiene a partir de 2 s ( V j ), ecuación (H.25d), puesto que 2 s ( V j ) refleja correctamente ambas componentes aleatorias de la varianza “dentro de un día” y “entre días” [véase ecuación (H.29)]. Entonces con J − 1 = 9 grados de libertad. 2 2 s ( V) = s ( V j )/ J (H.32) (57 µV) 2 / 10, o sV ( ) = 18 µV
Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Ejemplos El número de grados de libertad de sw 2 (y por tanto de sw) es J(K − 1) = 40 [véase ecuación (H.26b)]. El número de grados de libertad de sB 2 (y por tanto de sB) es el número efectivo de grados de libertad de la diferencia 2 2 2 = s ( V ) − s ( V ) / K [ecuación (H.31a)], aunque su estimación es problemática. sB j jk H.5.2.7 La mejor estimación de la diferencia de potencial del patrón de tensión es pues VS = V = 10,000 097 V, con sV ( ) = uc = 18 µV, dada por la ecuación (H.32). Compárese este valor de uc y sus 9 grados de libertad con uc = 13 µV y sus 49 grados de libertad, resultado obtenido en H.5.2.5 [ecuación (H.28b], cuando se había descartado la existencia de un efecto “entre días”. En una medición real, los efectos “entre días” aparentes deben, en lo posible, estudiarse a fondo, con objeto de determinar su causa, debiendo comprobarse también si hay efectos sistemáticos presentes, lo que impediría la utilización de los métodos de análisis de la varianza. Tal como se dijo al comienzo de este ejemplo, las técnicas de análisis de la varianza están concebidas para identificar y evaluar las componentes de la incertidumbre provenientes de efectos aleatorios, pero no proporcionan información acerca de las componentes derivadas de efectos sistemáticos. H.5.3 Papel del análisis de la varianza (ANOVA) en la medición H.5.3.1 Este ejemplo del patrón de tensión ilustra lo que generalmente se conoce con el nombre de diseño anidado compensado, de un nivel. El nombre deriva del hecho de que, en efecto, sólo existe un único nivel de “anidamiento” de las observaciones, con un solo factor, el día durante el que se realizan las observaciones, el cual varía durante la medición. Asimismo, es compensado porque cada día se efectúa el mismo número de observaciones. Un análisis similar al que se presenta en este ejemplo puede utilizarse para determinar si existe un “efecto operador”, un “efecto instrumento”, un “efecto laboratorio”, un “efecto muestra”, o incluso un “efecto método”, en una medición particular. Así, en el ejemplo, imaginemos que reemplazamos las observaciones hechas en diferentes días J, por observaciones hechas el mismo día pero por diferentes operadores J; entonces, la componente “entre días” de la varianza se transforma en una componente de la varianza asociada a los distintos operadores. H.5.3.2 Como se indicó en H.5, los métodos de análisis de la varianza se utilizan ampliamente en la certificación de materiales de referencia (MR) mediante ensayos interlaboratorios. Tal certificación implica habitualmente contar con un número de laboratorios independientes, de igual nivel de competencia, que midan las muestras de material, del que se desea certificar una propiedad. Generalmente se supone que las diferencias entre los resultados individuales, tanto inter (entre) laboratorios como intra (dentro) laboratorio, son de naturaleza estadística, sin importar sus causas. La media de cada laboratorio se considera como una estimación no sesgada de la propiedad del material, y la media no ponderada de las medias de los laboratorios se supone habitualmente como la mejor estimación de dicha propiedad. La certificación de un material de referencia podría implicar I laboratorios diferentes, cada uno de ellos midiendo la propiedad en estudio en J muestras distintas del material, consistiendo la medición de cada muestra en K observaciones repetidas e independientes. El número total de observaciones sería entonces IJK, y el númeo total de muestras IJ. Éste sería un ejemplo de diseño anidado compensado, de dos niveles, análogo al ejemplo anterior del patrón de tensión de un nivel. En este caso, hay dos niveles de “anidamiento” de las observaciones, con dos factores diferentes, muestra y laboratorio, que varian durante la medición. El modelo es compensado puesto que cada muestra es observada el mismo número (K) de veces en cada laboratorio, y cada laboratorio mide el mismo número (J) de muestras. Profundizando en la analogía con el ejemplo del patrón de tensión, en el caso del material de referencia el análisis de los datos tiene por objeto investigar la existencia de un posible efecto entre-muestras o entre-laboratorios, y determinar la incertidumbre más conveniente que puede atribuirse a la mejor estimación del valor de la propiedad a certificar. De acuerdo con el apartado anterior, la mejor estimación se supone que es la media de las I medias de laboratorios, que es también la media de las IJK observaciones. H.5.3.3 El apartado 3.4.2 puso en evidencia la importancia de hacer variar las magnitudes de entrada, de las que depende el resultado de medida, de forma que su incertidumbre esté basada en datos observados, evaluados estadísticamente. Los diseños anidados y el análisis de los datos resultantes mediante métodos de análisis de la varianza, pueden utilizarse con éxito en la práctica, en numerosas situaciones de medición. JCGM © 2008 - Reservados todos los derechos 107
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