B k A +

Expresión de la incertidumbre de medida: 2008 (Esp) Determinación de la incertidumbre típica combinada
N
2
2 2
uc ( y)
= ∑ ci
u ( xi
) + 2∑∑cicju(
xi
) u(
x j ) r(
xi
, x j )
(16)
i=
1
N −1
N
i=
1 j=
i+
1
NOTA 1 En el caso muy particular en el que todas las estimaciones de entrada estén correlacionadas con coeficientes de correlación
r(xi,xj) = +1, la ecuación (16) se reduce a:
2
2
⎡ N ⎤ ⎡ N
2
∂f
⎤
uc
( y)
= ⎢ ( ) ⎥ = ⎢ ( ) ⎥
⎢∑ci
u xi
⎥ ⎢∑
u xi
∂x
⎥
⎣ i=
1 ⎦ ⎣ i=
1
i ⎦
De esta forma, la incertidumbre típica combinada uc(y) es simplemente una suma lineal de términos que representan las variaciones de la
estimación de salida y, generada por la incertidumbre típica u(xi) de cada estimación de entrada xi (véase 5.1.3). [Esta suma lineal no
debe ser confundida con la ley general de propagación del error, aunque esta tiene una forma similar; las incertidumbres típicas no son
errores (véase E.3.2).]
EJEMPLO Diez resistencias, cada una de valor nominal Ri = 1000 Ω, se calibran con una incertidumbre despreciable de comparación,
contra una resistencia patrón del mismo valor RS = 1000 Ω, con una incertidumbre típica u(RS) = 100 mΩ según su certificado de
calibración. Las resistencias se conectan en serie con cables de resistencia despreciable, para obtener una resistencia de referencia Rref,
10
de valor nominal 10 kΩ. Así, Rref = f (Ri) = ∑ R
i= 1
i . Como r(xi,xj) = r(Ri,Rj) = +1 para cada par de resistencias (véase F.1.2.3,
ejemplo 2), es aplicable la ecuación de esta nota. Puesto que para cada resistencia ∂f /∂xi = ∂Rref /∂Ri = 1, y u(xi) = u(Ri) = u(RS) (véase
10
F.1.2.3, ejemplo 2), la ecuación para la incertidumbre típica combinada de Rref queda como uc(Rref) = ∑ uR ( )
i=
1
s = 10 x (100 mΩ) = 1
10
1/
2
Ω. El resultado uc(Rref)= 2 [ ∑ u ( R ) ] = 0,
32 Ω obtenido de la ecuación (10) es incorrecto, ya que no tiene en cuenta que todos los
i=
1 s
valores de calibración de las diez resistencias están correlacionados.
NOTA 2 Las varianzas u 2 (xi) y covarianzas u(xi , xj) estimadas pueden considerarse como elementos de una matriz varianza-covarianza
con elementos uij. Los elementos diagonales uii de la matriz son las varianzas u 2 (xi), mientras que los elementos fuera de la diagonal
uij (i ≠ j) son las covarianzas u(xi , xj) = u(xj , xi). Si dos estimaciones de entrada no están correlacionadas, su covarianza asociada y los
elementos correspondientes uij y uji de la matriz varianza-covarianza son cero. Si las estimaciones de entrada son todas no
correlacionadas, todos los elementos fuera de la diagonal son cero y la matriz varianza-covarianza es diagonal (véase también C.3.5).
NOTA 3 A efectos de cálculo numérico, la ecuación (16) puede escribirse como:
donde Zi viene dada en 5.1.3, nota 2.
N N
2
u c ( y)
= ∑∑Z
i Z j r(
xi
, x j )
i=
1 j=
1
NOTA 4 Si las Xi particulares tratadas en 5.1.6 están correlacionadas, entonces los términos
N 1
2
−
N
∑∑[
pi
u(
xi
) / xi
][ p ju
( x j ) / x j ] r(
xi
, x j )
i=
1 j=
i+
1
deben añadirse al segundo miembro de la ecuación (12).
5.2.3 Consideremos dos medias aritméticas q y r , que estiman las esperanzas matemáticas μq y μr de dos
magnitudes q y r que varían aleatoriamente, y supongamos que q y r se calculan a partir de n pares
independientes de observaciones simultáneas de q y r, realizadas en las mismas condiciones de medida (véase
B.2.15). Entonces, la covarianza (véase C.3.4) de q y r viene estimada por
n
∑
k = 1
( q − q)(
r − r)
1
s(
q,
r)
=
(17)
k k
n(
n −1)
donde qk y rk son las observaciones individuales de las magnitudes q y r, y donde q y r se calculan a partir de
las observaciones, según la ecuación (3). Si las observaciones son realmente no correlacionadas, puede
esperarse un valor de la covarianza calculada próximo a cero.
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