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4.1. Introducción
En este capítulo generalizaremos el concepto de vector y de espacio. Extenderemos
las conocidas operaciones de suma de vectores y de multiplicación de un vector por un
número real, ya vistas para vectores del plano (R 2 ) o del espacio tridimensional (R 3 ), a
espacios de mayor dimensión y a conjuntos cuyos elementos no sean necesariamente pares
o ternas de números reales. Por ejemplo, los elementos podrían ser matrices, polinomios,
funciones, soluciones de ecuaciones lineales homogéneas, etc.
La idea central es definir un espacio vectorial como un conjunto de elementos (que se
llamarán vectores) que tenga definidas dos operaciones básicas:
I. La suma
II. La multiplicación por un escalar
Estas dos operaciones deberán ser cerradas en el conjunto, es decir, dar como resultado
otro vector del conjunto, y satisfacer ciertas propiedades que detallaremos a continuación.
Las operaciones anteriores permitirán definir la combinación lineal de vectores, que
será también un vector del conjunto, y de esta forma generar los vectores mediante la combinación
lineal de un cierto subconjunto de ellos. Esto posibilita una fácil caracterización
de los elementos de espacios abstractos y a la vez interpretar los mismos geométricamente,
mediante analogías con vectores de R 2 , R 3 o en general R n . En particular, lograremos una
comprensión más profunda de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios
vectoriales abstractos juegan además un rol fundamental en la teoría de ecuaciones
diferenciales lineales y en la física cuántica.
Ejemplo: R 2
v 2
v⩵v 1 ,v 2
0 v 1
Figura 4.1: Vector en el plano
A modo de repaso, consideremos primero el conjunto R 2 de pares ordenados de números
reales v = (v 1 , v 2 ) dotado de las operaciones:
• Suma:
u + v = (u 1 , u 2 ) + (v 1 , v 2 ) = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 )
• Multiplicación por un escalar (número real):
αv = α(v 1 , v 2 ) = (αv 1 , αv 2 )
Vemos que tanto la suma de dos vectores cualesquiera u, v de R 2 como la multiplicación
de cualquier vector v de R 2 por cualquier número real α, da como resultado un
vector de R 2 . Por lo cual decimos que el conjunto R 2 de vectores del plano es cerrado
bajo la operación de suma de vectores y bajo la m ultiplicación por un escalar real.
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