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5) La indepencia lineal de funciones es un concepto importante en la teoría de ecuaciones
diferenciales lineales, como veremos en el 2 o módulo.
Consideremos, por ejemplo, las funciones f 1 (t) = cos(t), f 2 (t) = sen(t) incluidas en
V = C(R) = {f : R → R, f continua}. Es obvio que son linealmente independientes,
pues no son proporcionales: sen(t) ≠ α cos(t) ∀ t ∈ R, es decir, el cociente
sen(t)
= tan(t) es la función tangente, que no es una función constante.
cos(t)
Esto se puede también probar formalmente planteando la ecuación
α 1 cos(t) + α 2 sen(t) = 0
que debe
{
ser válida ∀ t ∈ R. Considerando por ej. t = 0 y t = π/2, obtenemos el
α1 + 0 α
sistema
2 = 0
0 α 1 + α 2 = 0 , que conduce a la solución única α 1 = α 2 = 0.
6) Consideremos ahora el conjunto de funciones M = {cos 2 (t), sen 2 (t), 1} ⊂ C(R)
(1 denota la función constante f(t) = 1 ∀ t). Dado que cos 2 (t)+sen 2 (t) = 1, tenemos
cos 2 (t) + sen 2 (t) − 1 = 0
∀ t ∈ R, por lo que el conjunto es linealmente dependiente. Cualquiera de estas
tres funciones puede escribirse como combinación lineal de las otras dos.
Propiedades fundamentales
En los ejemplos anteriores vimos que en el caso de tres vectores en R 3 , si la matriz A
formada por las coordenadas (coeficientes) de los tres vectores es no singular el conjunto
es linealmente independiente, mientras que si A es singular el conjunto es linealmente
dependiente. Este resultado se generaliza a R n :
Teorema 4.7.2: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
v 11
v 1n
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Sean v 1 = ⎝ . ⎠ , . . . , v n = ⎝ . ⎠ n vectores de R n .
v n1 v nn
El conjunto {v 1 , . . . , v n } es linealmente independiente si y sólo si la matriz de n × n
⎛
⎞
v 11 . . . v 1n
⎜
A = (v 1 , . . . , v n ) = ⎝
.
. .
⎟
. . ⎠
v n1 . . . v nn
es no singular, es decir, det A ≠ 0. Esto también implica que el conjunto {v 1 , . . . , v n } es
linealmente dependiente si y sólo si la matriz A es singular, es decir, det A = 0.
Demostración.
La combinación lineal nula α 1 v 1 + . . . + α n v n = 0 conduce al sistema homogéneo
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
v 11
v 1n v 11 . . . v 1n α 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
α 1 ⎝ . ⎠ + . . . + α n ⎝ . ⎠ = ⎝
.
. ..
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ = ⎝
0. ⎠
v n1 v nn v n1 . . . v nn α n 0
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