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Conclusión 1
Las matrices cuadradas (n × n) pueden dividirse en dos clases:
• no-singulares (invertibles)
• singulares (no-invertibles)
Cada una de estas clases tiene ciertas propiedades que serán enunciadas y exploradas en
este y los siguientes capítulos.
Por otra parte, las matrices no cuadradas (m × n, con m ≠ n) no pueden ser clasificadas
o categorizadas en una forma tan simple como en el caso m = n.
Conclusión 2
Si A de n × n es no singular (invertible), el sistema de n × n
Ax = b (2.28)
es compatible determinado ∀ b ∈ R n , siendo la única solución
x = A −1 b
Demostración.
En primer lugar, el sistema es compatible pues x = A −1 b es solución del sistema:
Ax = A(A −1 b) = (AA −1 )b = Ib = b
Y es compatible determinado (solución única) pues si existe algun x que satisface (2.28),
multiplicando ambos miembros a izquierda por A −1 obtenemos
por lo que necesariamente x = A −1 b.
A −1 (Ax) = (A −1 A)x = Ix = x = A −1 b
En particular, el sistema homogéneo Ax = 0 tiene sólo la solución trivial: x = A −1 0 = 0.
La conclusión anterior también implica obviamente que si el sistema de n × n Ax = b
es incompatible o compatible indeterminado (infinitas soluciones), A es singular, pues de
lo contrario sería compatible determinado.
Mostraremos luego que la reciproca es también válida: si el sistema cuadrado es compatible
determinado para algún b ∈ R n , entonces necesariamente A es no singular y por
lo tanto compatible determinado ∀ b.
( ) ( ) ( 2 1 x1 1
Ejemplo 2.5.3 El sistema
= es compatible determinado ya que
−1 0 x 2 3)
( ) 2 1
A = es invertible (ejemplo 2.6.2). La solución es entonces
−1 0
( ) ( ) ( ) ( ( )
x1 1 0 −1 1 −3
= A −1 =
=
x 2 3 1 2 3)
7
o sea, x 1 = −3, x 2 = 7.
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