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de una fila por un escalar no nulo y suma a una fila de otra fila multiplicada por una
constante), por lo que las filas de B son combinaciones lineales de las filas de A y por ende
EF (B) ⊂ EF (A). Como A es también equivalente por filas a B (todas las operaciones
por fila son invertibles) tenemos EF (A) ⊂ EF (B). Por lo tanto, EF (A) = EF (B).
Por otro lado, las columnas de B no serán en general combinaciones lineales de las de A.
Por ejemplo, A = ( 1 0 0
0) y B = ( 0 1 0
0) son equivalente por filas (están relacionadas por una
permutación de filas), pero el espacio columna es claramente distinto.
Corolario 4.10.2 Si U es la matriz escalonada reducida obtenida a partir de A por operaciones
elementales de fila, las filas no nulas de U forman una base del espacio fila de A.
Demostración. Por ser U escalonada reducida, las filas no nulas de U son una base del
espacio fila de U, que por el teorema anterior, coincide con el espacio fila de la matriz
original A. Por lo tanto, son también base de EF (A).
Y para encontrar una base del espacio columna, existen dos formas: Una es encontrar
una base del espacio fila de la traspuesta A T por el procedimiento anterior, ya que
EF (A T ) = EC(A) (identificando vectores columna con vectores fila de la misma longitud).
La otra, más fácil ya que no requiere una nueva reducción, es utilizar el siguiente
resultado, que también demostraremos luego junto con el teorema 4.10.1:
Corolario 4.10.3 Si U es la matriz escalonada reducida obtenida a partir de A por
operaciones elementales de fila, las columnas de la matriz original A correspondientes a
las columnas con pivotes de U son una base del espacio columna de la matriz original A.
Remarcamos que mientras las filas no nulas de U son una base del espacio fila de A,
las columnas con pivotes de U no son en general una base del espacio columna de A. Sí lo
son, en cambio, las correspondientes columnas de A (por ejemplo, las columnas 1, 2 y 4
de A si U tiene la forma (4.10.1)).
Ejemplo 4.10.2
⎛
Consideremos A = ⎝
⎛
A = ⎝
1 2 3 4
1 3 1 1
1 −4 −1 −2
1 2 3 4
1 3 1 1
1 4 −1 −2
⎞
⎛
⎠ −→ ⎝
⎞
⎠. Reduciéndola por filas, obtenemos:
1 2 3 4
0 1 −2 −3
0 2 −4 −6
⎞
⎛
⎠ −→ ⎝
1 2 3 4
0 1 −2 −3
0 0 0 0
Por lo tanto, r(A) = 2 (número de filas no nulas de la última matriz), siendo
B F = {(1, 2, 3, 4), (0, 1, −2, 3)}
(las filas no nulas de U) una base del espacio fila EF (A) y
⎧⎛
⎨
B C = ⎝
⎩
1
1
1
⎞
⎛
⎠ , ⎝
2
3
4
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
⎞
⎠ = U
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