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4.8. Bases y dimensión de un espacio vectorial
Un espacio vectorial V se dice que es finitamente generado si puede ser generado por
un conjunto finito de vectores. En tal caso se busca un conjunto generador de V que sea
“minimal”, es decir, que no contenga vectores innecesarios o redundantes. Por los teoremas
4.6.1 y 4.7.1, esto implica que tal conjunto debe ser linealmente independiente. Un
conjunto generador de este tipo se denomina base del espacio vectorial:
Un conjunto de vectores B = {v 1 , v 2 , . . . , v n } ⊂ V es una base del espacio vectorial V si
y sólo si:
1) Es linealmente independiente
2) Genera V : V = gen(B) = 〈v 1 , . . . , v n 〉.
El número n de elementos de la base es la dimensión del espacio vectorial V . Se lo indica
como dim V = n.
Demostraremos luego que todas las bases de un espacio vectorial V finitamente generado
tienen el mismo número de elementos).
Para completar la definición anterior, el subespacio nulo V = {0} se dice que tiene
dimensión 0 (no contiene vectores linealmente independientes).
Y los espacios vectoriales que no son finitamente generados (tal como el espacio de
funciones continuas C(R)) se dice que tienen dimensión infinita.
Cuando dos espacios tienen la misma dimensión (finita) se dice que son isomorfos.
Profundizaremos este concepto en el próximo capítulo.
Ejemplos 4.8.1
{( ) ( )}
1 0
1) El conjunto B = {e 1 , e 2 } = , ⊂ R
0 1
2 es una base de R 2 (que
aquí identificamos con R 2×1 ) denominada base canónica. Es claro que son( linealmente
independientes (problema 4.7.2) y que generan R 2 (ejemplo 4.6.1): si
) x
y
es un vector génerico de R 2 ,
( ) ( x 1
= x
y 0
)
( 0
+ y
1
Por lo tanto dim R 2 = 2.
⎧⎛
⎨
2) Analogamente, el conjunto B = {e 1 , e 2 , e 3 } = ⎝
⎩
)
= xe 1 + ye 2
1
0
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
0
1
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
0
0
1
⎞⎫
⎬
⎠
⎭ ⊂ R3 es la
base canónica de R 3 . Es obvio que son linealmente independientes (¡probar!) y
que generan R 3 (ejemplo 4.6.2):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 0 0
⎝ y ⎠ = x ⎝ 0 ⎠ + y ⎝ 1 ⎠ + z ⎝ 0 ⎠ = xe 1 + ye 2 + ze 3
z 0 0 1
Por lo tanto dim R 3 = 3
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