HELLO

Por el contrario, si det(A) = 0 las columnas de A son linealmente dependientes (teorema
4.7.2), por lo que dim EC(A) < n. Como esto implica det(A T ) = 0, las filas de A
son también linealmente dependientes y entonces dim EF (A) < n.
⎛ ⎞
1 1 1
Por ejemplo, si A = ⎝ 1 3 2 ⎠, det A = −1 ≠ 0, por lo cual r(A) = 3. Tanto
1 2 1
las filas como las columnas de A son linealmente independientes, generando entonces R 3
(identficando R 3×1 y R 1×3 con R 3 ).
Matrices escalonadas reducidas.
Resulta también fácil verificar el teorema 4.10.1 en el caso de una matriz escalonada
reducida U. Por ej., si U es de la forma
⎛
U =
⎜
⎝
1 u 12 u 13 u 14 u 15
0 1 u 23 u 24 u 25
0 0 0 1 u 25
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎞
⎟
⎠
(4.10.1)
se observa que:
1) La filas no nulas de U son linealmente independientes (ninguna puede escribirse
como combinación lineal de las restantes), constituyendo entonces una base de EF (U).
2) La columnas con un elemento “pivote” (la 1, 2 y 4 en 4.10.1) son linealmente
independientes y constituyen una base de EC(U), ya que las restantes columnas (3 y
5) pueden escribirse como combinación lineal de estas columnas.
3) El número de filas no nulas y el número de columnas con pivotes es el mismo (3 en
este caso), ya que cada elemento pivote está asociado a una fila (y columna) distinta.
Entonces 1)+2)+3) implican
dim EF (U) = dim EC(U) = r(U)
siendo r(U) el número de filas no nulas de U, o equivalentemente, el número de
columnas de U con un elemento pivote.
Estas consideraciones se aplican a toda matriz escalonada reducida.
Para encontrar una base del espacio fila en el caso general, es útil el siguiente teorema:
Teorema 4.10.2. Sean A y B dos matrices ∈ R m×n . Si A y B son equivalentes por filas
⇒ tienen el mismo espacio fila:
EF (A) = EF (B)
Remarquemos, no obstante, que el espacio columna de B no es necesariamente igual al
espacio columna de A.
Demostración. Si B es equivalente por filas a A, B se obtiene de A por medio de una
secuencia finita de operaciones elementales por filas (permutación de filas, multiplicación
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