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una base del espacio columna EC(A) (son las columnas 1 y 2 de A, que corresponden a
las columnas con pivote de U). La dimensión de EF (A) y EC(A) es entonces 2.
Comentarios: Las bases de EF (A) y EC(A) no son, por supuesto, únicas. Por ejemplo,
puede también llevarse A a la forma escalonada reducida de Gauss-Jordan,
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 3 4
1 2 3 4
1 0 7 10
A = ⎝ 1 3 1 1 ⎠ −→ . . . −→ ⎝ 0 1 −2 −3 ⎠ −→ ⎝ 0 1 −2 −3 ⎠ = U ′
1 4 −1 −2
0 0 0 0
0 0 0 0
y en tal caso B ′ F
= {(1, 0, 7, 10), (0, 1, −2, −3)} es también una base de EF (A).
Además, dado que dim EF (A) = dim EC(A) = 2, cualquier par de vectores fila linealmente
independientes ∈ EF (A) forman una base de EF (A) y similarmente, cualquier par
de vectores columna linealmente independientes ∈ EC(A) forman también una base de
EC(A). Por ejemplo, B F ′ = {(1, 2, 3, 4), (1, 3, 1, 1)} es también una base de EF (A), pues
∈ EF (A) y son linealmente independientes, y
⎛
⎞
⎛
⎧
B C
′ = ⎨
⎝ 1 1 ⎠ , ⎝ 3 1
⎩
1 −1
⎞⎫
⎧⎛
⎬
⎠ , ⎭ B′′ C = ⎨
⎝ 2 ⎞ ⎛
3 ⎠ ,
⎩
4
⎝ 4 1
−2
∈ EC(A) y son linealmente independientes.
⎞⎫
⎬
⎠
⎭
son también bases de EC(A), dado que
Ejemplo 4.10.3 Encontrar la dimensión y una base del espacio S generado por el
conjunto de vectores M = {(1, 2, 3, 0), (1, 3, 1, 1), (1, 4, −1, 2), (0, 1, −2, 1)}.
El método estándar es entonces formar una matriz A con los vectores puestos por fila
y realizar la reducción por filas de la matriz resultante. Obviamente, si fuesen linealmente
independientes generarían R 4 , pero este no es necesariamente el caso:
A =
⎛
⎜
⎝
1 2 3 0
1 3 1 1
1 4 −1 2
0 1 −2 1
⎞
⎛
⎟
⎠ −→ ⎜
⎝
1 2 3 0
0 1 −2 1
0 2 −4 2
0 1 −2 1
⎞
⎛
⎟
⎠ −→ ⎜
⎝
1 2 3 0
0 1 −2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
⎞
⎟
⎠ = U
Esto implica que los 4 vectores generan en realidad un subespacio de R 4 de dimensión 2,
siendo B = {(1, 2, 3, 0), (0, 1, −2, 1)} una base del mismo.
Todo vector v ∈ S puede entonces escribirse como
con α, β ∈ R.
v = α(1, 2, 3, 0) + β(0, 1, −2, 1)
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