HELLO

2. Sea L: V → W una transformación lineal y supongamos que L(v 1 ) = w 1 , . . . ,
L(v k ) = w k para vectores v 1 , . . . , v k de V .
(a) Si {w 1 , . . . , w k } genera W , ¿debe {v 1 , . . . , v k } generar V ? Pensar, por ejemplo,
en transformaciones de R 3 , sobre R 2 .
(b) Si {v 1 , . . . , v k } genera V , ¿debe {w 1 , . . . , w k } generar W ? Pensar por ejemplo
en L : R 2 −→ R 3 .
(c) Si ahora L es un isomorfismo (que implica dim V = dim W en espacios de
dimensión finita) ¿ cuál es la respuesta a (a) y (b)?
3. Si L : V → W es inyectiva, mostrar que la imagen L(S) de un subespacio de
dimensión m de V es un subespacio de dimensión m de W .
4. Importante: Sea L : R n → R m la transformación lineal definida por una matriz A
de m × n:
L(x) = Ax
probar que:
a) L es inyectiva si y sólo si rango(A) = n. Esto implica n ≤ m.
b) L es sobreyectiva si y sólo si rango(A) = m. Esto implica n ≥ m.
c) L es biyectiva (isomorfismo) si y sólo si rango(A) = m = n, es decir, si y sólo si
A es una matriz cuadrada no singular.
d) Probar que en c), L −1 : R n → R n está dada por
L −1 (x) = A −1 (x)
e) Discuta las implicancias de los resultados anteriores para el sistema de ecuaciones
lineales (de m × n)
L(x) = b
En particular, muestre que
i) Es compatible si y sólo si b ∈ Im(L).
ii) Es compatible ∀ b ∈ R m si y sólo si L es sobreyectiva
iii) La solución, cuando existe, es única si y sólo si L es inyectiva
iv) La solución existe y es única ∀ b ∈ R m si y sólo si L es biyectiva (isomorfismo),
es decir si y sólo si m = n y A es no singular.
5. Importante: Sea V un espacio vectorial de dimensión n, con {v 1 , . . . , v n } una base
(ordenada) de V , tal que si v ∈ V ,
v = x 1 v 1 + . . . + x n v n
Sea L : V −→ R n la transformación lineal definida por
⎛ ⎞
x 1
⎜ ⎟
L(v) = ⎝ . ⎠
x n
Es decir, L(v) = [v] B es el vector columna de coordenadas de v en la base B.
a) Mostrar que L está bien definida, es decir, que [v] B existe y es único ∀ v ∈ V .
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