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Problemas 4.3
1) Analizar si S es un subespacio del espacio vectorial indicado, e interpretar S geométricamente.
1.1) V = R 2
a) S = {(x, y) ∈ R 2 , y = x} b) S = {(x, y) ∈ R 2 , y = x 2 }
c) S = {(x, y) ∈ R 2 , y ≥ x} d) S = {(x, y) ∈ R 2 , x 2 + y 2 ≤ 1}
1.2) V = R 3
a) S = {(x, y, z) ∈ R 3 , x + y + z = 0} b) S = {(x, y, z) ∈ R 3 , x + y + z = −1}
c) S = {(x, y, z) ∈ R 3 , y = 0} d) S = {(x, y, z) ∈ R 3 , y = 0, x = z}
e) S = {(x, y, z) ∈ R 3 , z ≥ x 2 + y 2 } f) S = {(x, y, z) ∈ R 3 , x ≠ 1}
1.3) V = R 4 a) S = {(x, y, z, t) ∈ R 4 , x + y + z = t}
2) Probar que toda recta que pasa por el origen en R 2 es un subespacio de R 2 . Mostrar
también que las rectas que no pasan por el origen no son subespacios de R 2 .
3) Muestre que el conjunto de vectores de R 4 ortogonales al vector (1, 1, 1, 1) es un
subespacio de R 4 .
4) Analice{( si el subconjunto ) S de matrices } dado es un subespacio de R 2×2 .
a b
a) S =
∈ R
c d
2×2 , b = c (conjunto de matrices simétricas de 2 × 2)
{( ) }
a 0
b) S =
∈ R
0 d
2×2 (conjunto de matrices diagonales de 2 × 2)
{( )
}
a b
c) S =
∈ R
c d
2×2 , ad − bc = 0 (conjunto de matrices singulares de 2 × 2)
5) Analice si el subconjunto S de matrices dado es un subespacio de R n×n .
a) S = {A ∈ R n×n , A T = A} (conjunto de matrices simétricas de n × n)
b) S = {A ∈ R n×n , A T = −A} (conjunto de matrices antisimétricas de n × n)
c) S = {A ∈ R n×n , a ij = 0 si i ≠ j} (conjunto de matrices diagonales de n × n)
d) S = {A ∈ R n×n , det A = 0} (conjunto de matrices singulares de n × n)
e) S = {A ∈ R n×n , det A ≠ 0} (conjunto de matrices no-singulares de n × n)
f) S = {A ∈ R n×n , a ij = 0 si i > j} (matrices triangulares superiores de n × n)
6) Analice si el subconjunto de funciones f : R → R derivables ∀ x ∈ R es un subespacio
del espacio C(R) de funciones f : R → R continuas.
7) a) Determine si S = {f : R → R, df −f = 0} (el conjunto de funciones que satisfacen
dx
df
= f) es un subespacio del espacio de funciones continuas C(R).
dx
b) Idem para S = {f : R → R, df − f = 1}.
dx
8) Sea V = P 2 el espacio de polinomios de grado ≤ 2. Determine si el subconjunto de
polinomios de P 2 que satisface p(1) = 0 es un subespacio de P 2 . ¿Sucede lo mismo
con el conjunto de polinomios de P 2 que satisface p(1) = 1?
9) Sean S 1 y S 2 subespacios de un espacio vectorial V . Probar que la intersección
S 1
⋂
S2 es un subespacio de V , y que la unión S 1
⋃
S2 no es necesariamente un
subespacio de V .
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