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Problemas 3.3
1. Evaluar los determinantes de las siguientes matrices utilizando las propiedades anteriores
(llevarlas, por ejemplo, a una forma triangular). Indique cuales son singulares.
⎛
⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 1
−1 3 2 1 2 1 1 2 3
a) ⎝ 2 1 3⎠ , b) ⎝1 2 0⎠ , c) ⎝4 5 6⎠ d) ⎜−1 1 1 1
⎟
⎝ 1 −1 1 1⎠
1 4 5 1 0 0 7 8 9
1 1 −1 1
2. Probar que ∣ ∣∣∣∣∣ 1 1 1
a b c
a 2 b 2 c 2 ∣ ∣∣∣∣∣
= (b − a)(c − a)(c − b)
(Es el caso 3 × 3 del determinante de Vandermonde, que aparece en varias aplicaciones).
3. Probar que la ecuación de una recta (en el plano) que pasa por (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 )
puede expresarse como ∣ ∣∣∣∣∣ x y 1
x 1 y 1 1
x 2 y 2 1∣ = 0
3.4. Aplicaciones geométricas del determinante
1. Interpretación geométrica del determinante. Caso 2 × 2.
Dos vectores u = (a, b), v = (c, d) en el plano forman los lados de un paralelogramo
(ver figura 3.1). Dado que
a = |u| cos α, b = |u| sen α, c = |v| cos β, d = |v| sen β
vemos que el determinante es
∣ a b
c d∣ = ad − bc = |u||v|(cos α sen β − sen α cos β)
= |u||v| sin(β − α) = |u|h (3.11)
siendo h = |v| sin(β − α) la “altura” del paralelogramo. Pero |u|h es justamente
el área del paralelogramo. Por lo tanto (y considerando que segun el orden elegido,
β − α puede ser ≥ 0 o ≤ 0) tenemos en general
Area = |u||v|| sin(β − α)| = |ad − bc| = | det(A)| (3.12)
( ) a b
con A = . Si β = α los vectores son colineales (v ∝ u) y Area= det(A) = 0.
c d
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