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que es un subespacio de R 4 (como comprobaremos en breve). Puede verificar el lector que
los dos vectores columna que generan N(A) son ortogonales a todas las filas de A.
Sistemas no homogéneos. El conjunto de soluciones de un sistema no homogéneo
A v = b (b ≠ 0), no es un subespacio de R n , pues no contiene el vector nulo 0 y no es
cerrado con respecto a la suma y al producto por un escalar: Si u y v son soluciones del
sistema (A u = b, A v = b) ⇒ A (u + v) = A u + A v = b + b = 2b (≠ b si b ≠ 0) y
A(α v) = α (A v) = α b (≠ b si α ≠ 1).
No obstante, es posible expresar toda solución de un sistema no homogéneo compatible
Av = b como la suma de una solución particular de dicho sistema más una solución del
sistema homogéneo (como se mencionó en el Cap. 1.), es decir, del espacio nulo N(A):
Teorema 4.4.1
Sea A ∈ R m×n y b ∈ R m×1 , con v p ∈ R n×1 una solución del sistema no homogéneo
(asumido compatible)
Av = b
tal que Av p = b. Entonces toda solución del sistema anterior es de la forma
v = v p + v h
donde v h ∈ N(A) es una solución del sistema homogéneo (Av h = 0).
Demostración. En primer lugar, es claro que si v p es solución del sistema no homogéneo,
también lo será v p + v h , con v h cualquier solución del sistema homogéneo Av h = 0, o sea
cualquier vector ∈ N(A):
A(v p + v h ) = Av p + Av h
= b + 0 = b
Y si v es cualquier otra solución del sistema no homogéneo (Av = b), entonces
A(v − v p ) = Av − Av p = b − b = 0
por lo que v − v p es una solución del sistema homogéneo, es decir, v − v p = v h ∈ N(A).
Por lo tanto, despejando v podemos expresar esta solución como
v = v p + v h
Geométricamente, el conjunto de soluciones del sistema no homogéneo corresponde entonces
a un “subespacio trasladado”, tal como un plano o recta que no pasa por el origen.
Ejemplo 4.4.2: Sea A la matriz del ejemplo 4.4.1. Consideremos ahora el sistema no
homogéneo Av = b, con b = ( 1 1). Aplicando la reducción de Gauss-Jordan obtenemos
( ) ( ) ( )
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 −1 1 2
(A | b) =
−→
−→
2 3 1 2 1 0 1 1 0 −1 0 1 1 0 −1
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