HELLO

2. Traslación:
La traslación T a suma a todo vectir x un vector fijo a:
T a (x) = x + a
Si a ≠ 0, T a no es una transformación lineal, ya que por ejemplo, T a (0) = a ≠ 0 y
T a (x 1 + x 2 ) = a + x 1 + x 2 ≠ T a (x 1 ) + T a (x 2 ).
Así, no podrá representarse directamente mediante una matriz aplicada a x.
Problemas 5.1.1
1. (i) Definir la proyección ortogonal en R 3 sobre el plano-xy y mostrar que es una
transformación lineal. Graficar.
(ii) Definir la proyección ortogonal en R 3 sobre el eje x y mostrar que es una transformación
lineal. Graficar.
(iii) ¿Qué es la proyección al origen? ¿ Puede considerarse una transformación lineal?
2. Considerar la transformación L : R 2 −→ R 2 dada por
( ( )
x x/2
L =
y)
y/3
i) Verificar que es lineal. Expresarla en la forma matricial L(x) = Ax.
ii) Hallar las imágenes L(v) de los vectores ( 1 0), ( 0 1), ( 1 1)
iii) Dar una interpretación geométrica de L.
iv) La imagen por L de un conjunto de vectores C se define como
L(C) = {L(v), v ∈ C}. Probar que la imagen L(C) bajo esta aplicación de la elipse
{( }
x
C = | (x
y)
2 /4) + (y 2 /9) = 1
es una circunferencia de radio 1.
Ejemplos de Transformaciones de R n en R m
1. Sea x =
(
x1
)
y L : R
x 2 −→ R 1 , definida por
2
L es una transformación lineal, ya que
L (x) = x 1 + x 2
L (αx + βy) = (αx 1 + βy 1 ) + (αx 2 + βy 2 )
= α (x 1 + x 2 ) + β (y 1 + y 2 ) = αL (x) + βL (y)
L asocia a cada vector x ∈ R 2 un escalar dado por x 1 + x 2 . Puede ser expresada en
forma matricial como L(x) = ( 1 1 ) ( )
x 1
.
x 2
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