HELLO

Al intercambiar (o trasponer) filas por columnas en una matriz A se obtiene la denominada
matriz traspuesta (o transpuesta) A T :
Matriz traspuesta.
La traspuesta A T de una matriz A de m × n es una matriz de n × m cuyas filas son las
columnas de A, es decir, cuyo elemento i, j es el elemento j, i de A:
(A T ) ij = a ji (2.2)
Por ejemplo,
⎛ ⎞
( ) T 1 9
1 −2 5
= ⎝−2 0⎠ ,
9 0 3
5 3
⎛
1
⎞
9
⎝−2 0⎠
5 3
T
=
( 1 −2
) 5
9 0 3
Obviamente, por la definición se cumple
(A T ) T = A (2.3)
Si A y B son de m × n y α es un escalar, se cumplen también las siguientes propiedades:
(A + B) T = A T + B T (2.4)
(αA) T = αA T (2.5)
es decir, la traspuesta de una suma de matrices es la suma de sus traspuestas, y la
traspuesta de un multiplo de una matriz es el multiplo de su traspuesta.
La demostración de estas propiedades (obvias) se dejan para el lector. Por ejemplo,
((A + B) T ) ij = (A + B) ji = a ji + b ji = (A T ) ij + (B T ) ij = (A T + B T ) ij , prueba (2.4).
Nótese que la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa:
⎛ ⎞T
⎛ ⎞
1
⎝−2⎠
= ( 1 −2 5 ) ( )
1
T
, 1 −2 5 = ⎝−2⎠
5
5
2.2.2. Matrices cuadradas especiales
Como se mencionó previamente, si m = n la matriz se dice cuadrada. Los siguientes
tipos de matrices cuadradas son de particular importancia, como veremos luego.
Matriz diagonal
Es aquella en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son cero:
⎛
⎞
a 11 0 . . . 0
0 a 22 0 0
A = ⎜
⎝ . 0
..
⎟ . 0 ⎠
0 0 0 a nn
es decir, a ij = 0 si i ≠ j.
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