HELLO

Ejemplos 5.2
1. Sea L : R 2 −→ R 2 definida por
L (x) =
( )
x1
0
(operador ( ) de proyección). Es obvio que L (x) = 0 si y sólo si x 1 = 0, es decir,
x1
x = ∈ Nu (L) si y sólo si x
x 1 = 0. Por lo tanto, Nu (L) es el subespacio
2
( 0
1-dimensional de R 2 generado por el vector e 2 = , es decir, es el eje x
1)
2 , como
es obvio geométricamente (¡graficar!):
〈( 0
Nu(L) =
1)〉
Por otra parte, dado que L(x) = x 1 e 1 , la imagen Im(L) = L(V ) es el conjunto de
vectores proporcionales a e 1 , es decir, el subespacio 1-dimensional de R 2 generado
por el vector e 1 , que geométricamente es el eje x 1 :
〈( 1
Im(L) =
0)〉
Se verifica que dim Im(L) + dim Nu(L) = 1 + 1 = 2 = dim V (V = R 2 ).
Nótese que L(x) = Ax, con A = ( 1 0 0
0), y que Nu(L) coincide con el espacio nulo de
A = ( 1 0 0
0), mientras que Im(L) coincide con el espacio columna de A.
2. Sea L : R 3 −→ R 2 definida por
L (x) =
( )
x1 + x 2
x 2 + x 3
{
x1 + x
Si x ∈ Nu (L), entonces
2 = 0
. Resolviendo el sistema, si la variable
x 2 + x 3 = 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
t 1
independiente es x 3 = t, se tiene x 2 = −x 3 , x 1 = x 3 , es decir, x = ⎝−t⎠ = t ⎝−1⎠:
t 1
〈 ⎛ ⎞
1
〉
Nu(L) = ⎝−1⎠
1
Por otro lado, vemos que
)
)
)
L(x) = x 1
( 1
0
+ x 3
( 0
1
+ x 2
( 1
1
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