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4) Sea V = R 2 y C el conjunto C = {(x, y) ∈ R 2 , y = mx + b, b ≠ 0}, que geométricamente
corresponde a una recta que no pasa por el origen. Dado que C no contiene
al origen 0 = (0, 0), C no es un subespacio de R 2 (es un subespacio trasladado o afin).
Tampoco es cerrado bajo suma o multiplicación por escalar (¡probar!).
5) Sea V = R 2 y C el semiplano superior,
C = {(x, y), x, y ∈ R, y ≥ 0}
C no es un subespacio de R 2 : Si bien 0 = (0, 0) ∈ C y C es cerrado bajo suma de
vectores (¡probar!), C no es cerrado bajo la multiplicación por un escalar:
Si v = (x, y) con y > 0 ⇒ αv = (αx, αy) ∈/ C si α < 0, ya que αy < 0.
Por ejemplo, (0, 1) ∈ C pero −(0, 1) = (0, −1) ∈/ C.
6) Sea V = R 3 y S = {(x, y, 0), x, y ∈ R} el plano xy. Se deja como ejercicio probar
que S es un subespacio de R 3 . Por otro lado, C = {(x, y, 1), x, y ∈ R} no es un
subespacio de R 3 (¡probar!).
7) Generalizando el caso anterior, sea V = R 3 y
S = {(x, y, z) ∈ R 3 , ax + by + cz = 0}
Geométricamente S es un plano que pasa por el origen perpendicular al vector
(a, b, c) (no nulo). S es subespacio de R 3 pues:
1. 0 = (0, 0, 0) ∈ S (se obtiene para x = y = z = 0).
2. Si v 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) y v 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) son vectores de S (ax i + by i + cz i = 0 para
i = 1, 2) ⇒ v 1 + v 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) ∈ S pues
a(x 1 + x 2 ) + b(y 1 + y 2 ) + c(z 1 + z 2 ) = (ax 1 + by 1 + cz 1 ) + (ax 2 + by 2 + cz 2 ) = 0 + 0 = 0
3. Si v = (x, y, z) ∈ S (ax + by + cz = 0) ⇒ αv = (αx, αy, αz) ∈ S pues
a(αx) + b(αy) + c(αz) = α(ax + by + cz) = α0 = 0
Al cumplirse 1., 2. y 3. podemos afirmar que S es un subespacio de R 3 . Geométricamente
el resultado es obvio: La suma de vectores de este plano y la multiplicación
de ellos por un escalar no salen del plano.
8) Sea V = R 3 y
S = {t(a, b, c), t ∈ R}
Geométricamente S es una recta que pasa por el origen con vector director (a, b, c)
(no nulo), perpendicular al plano anterior.
S es subespacio de R 3 pues:
1. 0 = (0, 0, 0) ∈ S (se obtiene para t = 0).
2. Si v 1 = t 1 (a, b, c) y v 2 = t 2 (a, b, c) son vectores de S ⇒ v 1 +v 2 = (t 1 +t 2 )(a, b, c) ∈
S (corresponde a t = t 1 + t 2 ).
3. Si v = t(a, b, c) ∈ S ⇒ αv = (αt)(a, b, c) ∈ S (corresponde a t → αt).
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