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Definición.
Una matriz A de coeficientes de m × n está en forma escalonada reducida por filas si
1. la matriz está en la “forma escalonada por filas” y
2. el primer elemento no nulo en cada fila es 1 y es el único coeficiente no nulo en su
columna (todos los coeficientes situados arriba han sido llevados a cero).
Este proceso de eliminación más restrictivo se denomina reducción de Gauss-Jordan.
Ejemplo 1.6.2 Consideremos el sistema
2x + y − w = 4
y + w + u = 4
x − z + 2w = 0
Utilizando la matriz ampliada y aplicando operaciones elementales, se obtiene:
⎛
2 1 0 −1 0
⎞
4
⎝0 1 0 1 1 4⎠
1 0 −1 2 0 0
−→
(1/2)f 1
−→
f 3 −(1)f 1
−→
f 3 +(1/2)f 2
−→
(−1)f 3
−→
f 1 −(1/2)f 2
⎛
1 1/2 0 −1/2 0
⎞
2
⎝0 1 0 1 1 4⎠
1 0 −1 2 0 0
⎛
⎞
1 1/2 0 −1/2 0 2
⎝0 1 0 1 1 4 ⎠
0 −1/2 −1 5/2 0 −2
⎛
⎞
1 1/2 0 −1/2 0 2
⎝0 1 0 1 1 4⎠
0 0 −1 3 1/2 0
⎛
⎞
1 1/2 0 −1/2 0 2
⎝0 1 0 1 1 4⎠
0 0 1 −3 −1/2 0
⎛
⎞
1 0 0 −1 −1/2 0
⎝0 1 0 1 1 4⎠
0 0 1 −3 −1/2 0
La última expresión es la forma de Gauss-Jordan. Despejando z de la última ecuación
en términos de w y u, luego y (de la segunda) y por último x (de la primera), se obtiene
el conjunto solución
(x, y, z, w, u) = {(w + (1/2)u, 4 − w − u, 3w + (1/2)u, w, u) ∣ ∣ w, u ∈ R}
Si usamos la forma de vectores columna, podemos expresar el conjunto solución como
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 0 1 1/2
⎪⎨
y
⎜z
⎟
⎝w⎠ = 4
⎜0
⎟
⎝0⎠ + w −1
⎜ 3
⎟
⎝ 1 ⎠ + u −1
⎫⎪ ⎬ ⎜1/2
∣
⎟ w, u ∈ R
⎝ 0 ⎠
⎪⎩
⎪ ⎭
u 0 0 1
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