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4.11. Teorema Rango-Nulidad
Recordemos que el espacio nulo de una matriz A (sección 4.4) es el conjunto de
soluciones del sistema homogéneo asociado: N(A) = {v ∈ R n , Av = 0}.
Se denomina nulidad de una matriz A a la dimensión de su espacio nulo N(A):
Ejemplo 4.11.1
n(A) = dim N(A)
Consideremos nuevamente la matriz del ejemplo 4.10.2, A = ⎝
⎛
1 2 3 4
1 3 1 1
1 4 −1 −2
⎞
⎠ ∈ R 3×4 .
Para resolver el sistema Av = 0 realizamos la reducción por filas de la matriz ampliada,
⎛
(A|0) = ⎝
1 2 3 4 0
1 3 1 1 0
1 4 −1 −2 0
⎞
⎛
⎠ −→ . . . −→ ⎝
1 0 7 10 0
0 1 −2 −3 0
0 0 0 0 0
⎞
⎠ = (U|0)
que conduce a la solución x 1 = −7x 3 − 10x 4 , x 2 = 2x 3 + 3x 4 , con x 3 , x 4 libres:
N(A) =
=
⎧⎛
⎪⎨
⎜
⎝
⎪⎩
〈 ⎛ ⎜ ⎜⎝
−7
2
1
0
−7x 3 − 10x 4
2x 3 + 3x 4
x 3
x 4
⎞ ⎛
⎟
⎠ , ⎜
⎝
−10
3
0
1
⎞ ⎫
⎪⎬
⎟
⎠ , x 3, x 4 ∈ R
⎪⎭
⎞
〉
⎟
⎠
⎧ ⎛
⎪⎨
= x 3
⎜
⎝
⎪⎩
−7
2
1
0
⎞
⎟
⎠ + x 4
⎛
⎜
⎝
−10
3
0
1
⎞ ⎫
⎪⎬
⎟
⎠ , x 3, x 4 ∈ R
⎪⎭
Por lo tanto, n(A) = 2, ya que los dos vectores que generan N(A) son linealmente
independientes, formando una base de N(A).
Vemos entonces que cada una de las variables libres tiene asociada uno de los vectores
que generan N(A), los cuales son, por construcción, linealmente independientes.
Por lo tanto,
La nulidad n(A) es el número de variables libres del conjunto solución del
sistema homogéneo Ax = 0.
El resultado anterior es válido para toda matriz A de m × n. Por el teorema 4.4.1, la
nulidad es también el número de variables libres del sistema no homogéne Ax = b cuando
este es compatible.
Si A es una matriz de n × n no singular, la única solución del sistema homogéneo
Av = 0 es la solución trivial v = 0, por lo que en este caso N(A) = {0} es el subespacio
nulo y la nulidad es 0: n(A) = 0.
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