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Observación. Si A es singular, det(A) = 0. Pero si det(A) es evaluado numéricamente
(usando aritmética de computadora y no aritmética exacta), los errores de redondeo
pueden ocasionar que el resultado no sea 0, aunque esté bastante cerca a 0.
Por lo tanto, en algunos casos es virtualmente imposible determinar computacionalmente
cuando una matriz de n × n es verdaderamente singular. Se discutirá este aspecto
con más detalle en la parte II.
Problema 3.6.1
Dado el determinante ∣ ∣∣∣∣∣ 2 1 3
4 2 1
6 −3 4
verifique que la cantidad de sumas y productos que se debe realizar para evaluarlo mediante
el método (a) es 5 y 9, mientras que por el método (b) es 5 y 10 respectivamente.
Verifique también que el valor del determinante es −60.
3.7. Matrices definidas por bloques
Las matrices definidas por bloques surgen frecuentemente en diversas aplicaciones.
Daremos sus propiedades en forma de problemas.
1. Pruebe que el determinante de una matriz de la forma
( ) A 0
M =
0 B
donde A es una matriz de n × n, B una matriz de m × m (n ≥ 1, m ≥ 1) y 0 denota
matrices nulas (tal que M es de (n + m) × (n + m)), es
∣
det(M) = det(A)det(B) (3.21)
(Sugerencia: Demuestre primero (3.21) para una matriz A de 1 × 1, mediante el
desarrollo por cofactores por la primer columna. Para el caso general, considere
operaciones elementales que lleven A a una matriz triangular superior y aplique
luego el resultado previo. Notar que la igualdad (3.21) es obvia si A y B son ambas
triangulares superiores (¿Por qué ?). La igualdad puede también demostrarse escribiendo
M como un producto conveniente, como se discute abajo).
Veremos en capítulos posteriores aplicaciones importantes de la propiedad (3.21).
2. Utilizando (3.21) evaluar el determinante de las matrices
⎛
⎞
⎛
⎞
1 2 0 0 0 0
2 1 0 0
3 4 0 0 0 0
M 1 = ⎜ 1 2 0 0
⎟
⎝ 0 0 3 2 ⎠ , M 2 =
0 0 1 1 0 0
⎜ 0 0 2 1 0 0
⎟
0 0 2 3
⎝ 0 0 0 0 3 1 ⎠
0 0 0 0 1 3
Verificar los resultados evaluando el determinante por otro método.
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